{"id":279,"date":"2020-03-29T11:45:37","date_gmt":"2020-03-29T09:45:37","guid":{"rendered":"http:\/\/www.niemma.de\/shop\/?p=279"},"modified":"2025-08-07T11:21:06","modified_gmt":"2025-08-07T09:21:06","slug":"strecke-und-beschleunigung","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/nurlernen.de\/physik\/strecke-und-beschleunigung\/","title":{"rendered":"Strecke und Beschleunigung"},"content":{"rendered":"\r\n\t\t<style>\r\n\t\t\t.collapsible {\r\n\t\t\t\tcolor: #303f9f;\t\r\n\t\t\t\tcursor: pointer; \r\n\t\t\t}\r\n\t\t\t.collapsible:hover {\r\n\t\t\t  text-decoration: underline;\r\n\t\t\t}\r\n\r\n\t\t\t.hidden_content {\r\n\t\t\t\tdisplay: none;\r\n\t\t\t\tbackground-color: #eeeeee\t\t  \r\n\t\t\t}\r\n\t\t<\/style>\r\n\t\t\r\n\t\t<script>\r\n\t\t\tdocument.addEventListener(\"DOMContentLoaded\", function() {\r\n\t\t\t\trenderMathInElement(document.body,\t\r\n\t\t\t\t{delimiters: [{left: \"$$\", right: \"$$\", display: true},\r\n\t\t\t\t{left: \"$\", right: \"$\", display: false},\r\n\t\t\t\t]});\r\n\t\t\t});\r\n\t\t\r\n\t\t\twindow.WebFontConfig = {\r\n\t\t\t\tcustom: {\r\n\t\t\t\t  families: [\"KaTeX_AMS\", \"KaTeX_Caligraphic:n4,n7\", \"KaTeX_Fraktur:n4,n7\",\r\n\t\t\t\t\t\"KaTeX_Main:n4,n7,i4,i7\", \"KaTeX_Math:i4,i7\", \"KaTeX_Script\",\r\n\t\t\t\t\t\"KaTeX_SansSerif:n4,n7,i4\", \"KaTeX_Size1\", \"KaTeX_Size2\", \"KaTeX_Size3\",\r\n\t\t\t\t\t\"KaTeX_Size4\", \"KaTeX_Typewriter\"],\r\n\t\t\t\t},\r\n\t\t\t};\r\n\t\t\r\n\t\t\tdocument.addEventListener(\"DOMContentLoaded\", function() {\r\n\t\t\t\tvar coll = document.getElementsByClassName(\"collapsible\");\r\n\t\t\t\tvar i;\r\n\r\n\t\t\t\tfor (i = 0; i < coll.length; i++) {\r\n\t\t\t\t  coll[i].addEventListener(\"click\", function() {\r\n\t\t\t\t\t\tthis.classList.toggle(\"active\");\r\n\t\t\t\t\t\tvar content = this.nextElementSibling;\r\n\t\t\t\t\t\tif (content.style.display === \"block\") {\r\n\t\t\t\t\t\t  content.style.display = \"none\";\r\n\t\t\t\t\t\t} else {\r\n\t\t\t\t\t\t  content.style.display = \"block\";\r\n\t\t\t\t\t\t}\r\n\t\t\t\t  });\r\n\t\t\t\t}\r\n\t\t\t});\r\n\t\t\r\n\t\t<\/script>\n<div id=\"results\" class=\"container\">\n<h3>Strecke und konstante Beschleunigung<\/h3>\n<ol>\n<li>Welche Strecke wird im Falle konstanter Beschleunigung in Abh\u00e4ngigkeit der verstrichenen Zeit zur\u00fcckgelegt? Die folgende Abbildung kann uns hierbei helfen.<br \/>\n<figure class=\"wp-block-image size-large\">\n<p><figure id=\"attachment_228\" aria-describedby=\"caption-attachment-228\" style=\"width: 340px\" class=\"wp-caption alignright\"><img decoding=\"async\" class=\"wp-image-228\" title=\"Abbildung 1: v-t-Diagramm (v: konstant)\" src=\"http:\/\/nurlernen.de\/physik\/wp-content\/uploads\/sites\/3\/2025\/07\/l_100100_a.png\" alt=\"v-t-Diagramm\" width=\"350\" \/><figcaption id=\"caption-attachment-228\" class=\"wp-caption-text\">Abbildung 1: v-t-Diagramm (v: konstant)<\/figcaption><\/figure><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<\/li>\n<li>Die Abbildung stellt die Geschwindigkeit $v$ in Abh\u00e4ngigkeit von der Zeit $t$ dar. Dabei ist die Geschwindigkeit konstant. Das sieht man daran, dass es sich bei der roten Linie um eine Gerade handelt.<\/li>\n<li>Wir suchen die zur\u00fcckgelegte Strecke zu einem beliebigen Zeit $t$. Diese ist nichts anders als die Fl\u00e4che zwischen der Gerade $v(t)$ und der t-Achse. Diese Fl\u00e4che setzt sich aus zwei Formen zusammen:\n<ul>\n<li>Fl\u00e4che $F_1$ ist ein Rechteck, das durch die Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ festgelegt ist. Ver\u00e4ndert sich $v_0$, dann \u00e4ndert sich auch $F_1$. Es gilt $F1 = v_0 \\cdot t$. (Das kennen wir bereits aus $s = v \\cdot t$!)<\/li>\n<li>Fl\u00e4che $F_2$ ist ein Dreieck, das durch die Beschleunigung $a$ festgelegt ist. Aber warum? Nun ja f\u00fcr den Fl\u00e4cheninhalt des Dreiecks gilt $$\\begin{aligned} F_2 &amp;=\\frac 1 2 \\text{ H\u00f6he } \\cdot \\text{ Breite } \\\\ &amp; = \\frac 1 2 v \\cdot t \\quad \\text{ mit } v= a \\cdot t \\\\ &amp;= \\frac 1 2 a \\cdot t^2 \\end{aligned}$$<\/li>\n<li>Nun setzen wir die Beitr\u00e4ge zusammen, d. h. $F_1 +F_2$ und erhalten f\u00fcr die zur\u00fcckgelegte Strecke $$s(t) = \\frac 1 2 a \\cdot t^2 + v_0 \\cdot t$$<\/li>\n<li>Falls zum Zeitpunkt $t=0$ die Strecke nicht Null ist, d. h. $s(t=0) = s_0$, m\u00fcssen wir diesen Beitrag auch mitber\u00fccksichtigen. Wir erhalten dann im Falle einer konstanten Beschleunigung f\u00fcr die zur\u00fcckgelegte Strecke in Abh\u00e4ngigkeit von der Zeit $$\\boxed {s(t) = \\frac 1 2 a \\cdot t^2 + v_0 \\cdot t + s_0}$$<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li>Die folgende Abbildung zeigt die Funktion $s(t)$ f\u00fcr die konstante Beschleunigung. Da in dieser Funktion die Variable $t$ den Exponenten 2 hat (wegen $t^2$) sprechen wir von einer quadratischen Funktion.<br \/>\n<figure class=\"wp-block-image size-large\">\n<figure id=\"attachment_229\" aria-describedby=\"caption-attachment-229\" style=\"width: 340px\" class=\"wp-caption alignright\"><img decoding=\"async\" class=\"wp-image-229\" title=\"Abbildung 2: s-t-Diagramm (a: konstant)\" src=\"http:\/\/nurlernen.de\/physik\/wp-content\/uploads\/sites\/3\/2025\/07\/l_100100_b.png\" alt=\"s-t-Diagramm\" width=\"350\" \/><figcaption id=\"caption-attachment-229\" class=\"wp-caption-text\">Abbildung 2: s-t-Diagramm (a: konstant)<\/figcaption><\/figure>\n<figcaption><\/figcaption>\n<\/figure>\n<\/li>\n<li>Die graphische Darstellung einer quadratischen Funktion ergibt keine Gerade sondern eine Parabel. Den tiefsten Punkt dieser Parabel nennt man den Scheitelpunkt oder auch das Minimum. In unserem Fall hat der Scheitelpunkt die Koordinaten $(0, s_0)$.<\/li>\n<\/ol>\n<h4>Der freie Fall<\/h4>\n<ol>\n<li>Die Erde beschleunigt alle Objekte mit $-9,8 [m\/s^2]$. Diese Beschleunigung ist negativ, weil Sie immer nach unten (zum Erdzentrum) zeigt. Man nennt die Erdbeschleunigung $g$ und verwendet einfachheitshalber den Wert $g= -10 [m\/s^2]$<\/li>\n<li>Ein Stein wird in einen Schacht fallen gelassen. Welche Tiefe erreicht der Stein nach 2 Sekunden?<br \/>\nF\u00fcr die zur\u00fcckgelegte Strecke gilt $$s(t) = \\frac 1 2 a \\cdot t^2 + v_0 \\cdot t + s_0$$ mit $a = g= -10 [m\/s^2]$, $v_0 = 0$ (da kein Wurf) und $s_0 = 0$ (wir setzen die Erdoberfl\u00e4che als Ausgangsposition)<br \/>\nNach $t=2 [s]$ hat der Stein folgende Strecke hinter sich $$\\begin{aligned}s(2[s]) &amp;= &#8211; \\frac 1 2 (10 [m\/s^2] \\cdot 2^2 [s^2]) + 0 \\cdot 2[s] + 0 [m] \\\\ &amp;= -20 [m] \\end{aligned}$$ Der Stein erreicht die Tiefe von 20 [m]. Das Minus-Vorzeichen besagt, dass sich der Stein unter der Erdoberfl\u00e4che (unser Bezugssystem) befindet.<\/li>\n<\/ol>\n<h4>Der senkrechte Wurf<\/h4>\n<ol>\n<li>Der senkrechte Wurf nach oben ist \u00e4hnlich dem freien Fall, mit dem Unterschied, dass durch den Prozess des Werfens f\u00fcr die Anfangsgeschwindigkeit gilt $v_0 \\not = 0$.<\/li>\n<li>Ein Stein wird von einer H\u00f6he von 10 [m] mit der Geschwindigkeit $v_0 = 20 [m\/s]$ nach oben geworfen. Welche H\u00f6he erreicht der Stein nach 2 Sekunden?<br \/>\nF\u00fcr die zur\u00fcckgelegte Strecke gilt $$s(t) = \\frac 1 2 a \\cdot t^2 + v_0 \\cdot t + s_0$$ mit $a = g= -10 [m\/s^2]$, $v_0 = 20 [m\/s]$ (durch das Werfen) und $s_0 = 10 [m]$ (Ausgangsh\u00f6he)<br \/>\nNach $t=2 [s]$ hat der Stein die Strecke $$\\begin{aligned}s(2[s]) &amp;= &#8211; \\frac 1 2 (10 [m\/s^2] \\cdot 2^2 [s^2]) + 20 [m\/s] \\cdot 2[s] + 10 [m] \\\\ &amp;= -20 [m] + 40 [m] +10[m] &amp;=30 [m] \\end{aligned}$$ Der Stein erreicht die H\u00f6he von 30 [m].<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n\n\n<p><button onclick=\"location.href='https:\/\/nurlernen.de\/physik\/physik-inhalte\/'\">Lernbereich<\/button>\r\n<!--button onclick=\"location.href='https:\/\/nurlernen.de\/physik\/physik-lernkontrolle\/'\">Lernkontrolle<\/button-->\r\n<!--button onclick=\"location.href='\/physik-fragenkatalog'\"&gt;Fragenkatalog (F\u00fcr Lehrer)&lt;\/button-->\r\n<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Welche Strecke wird im 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