{"id":288,"date":"2020-03-30T19:53:08","date_gmt":"2020-03-30T17:53:08","guid":{"rendered":"http:\/\/www.niemma.de\/shop\/?p=288"},"modified":"2025-11-10T09:06:35","modified_gmt":"2025-11-10T08:06:35","slug":"die-position-ist-ein-vektor","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/nurlernen.de\/physik\/die-position-ist-ein-vektor\/","title":{"rendered":"Die Position ist ein Vektor"},"content":{"rendered":"<div id=\"results\" class=\"container\">\n\r\n\t\t<style>\r\n\t\t\t.collapsible {\r\n\t\t\t\tcolor: #303f9f;\t\r\n\t\t\t\tcursor: pointer; \r\n\t\t\t}\r\n\t\t\t.collapsible:hover {\r\n\t\t\t  text-decoration: underline;\r\n\t\t\t}\r\n\r\n\t\t\t.hidden_content {\r\n\t\t\t\tdisplay: none;\r\n\t\t\t\tbackground-color: #eeeeee\t\t  \r\n\t\t\t}\r\n\t\t<\/style>\r\n\t\t\r\n\t\t<script>\r\n\t\t\tdocument.addEventListener(\"DOMContentLoaded\", function() {\r\n\t\t\t\trenderMathInElement(document.body,\t\r\n\t\t\t\t{delimiters: [{left: \"$$\", right: \"$$\", display: true},\r\n\t\t\t\t{left: \"$\", right: \"$\", display: false},\r\n\t\t\t\t]});\r\n\t\t\t});\r\n\t\t\r\n\t\t\twindow.WebFontConfig = {\r\n\t\t\t\tcustom: {\r\n\t\t\t\t  families: [\"KaTeX_AMS\", \"KaTeX_Caligraphic:n4,n7\", \"KaTeX_Fraktur:n4,n7\",\r\n\t\t\t\t\t\"KaTeX_Main:n4,n7,i4,i7\", \"KaTeX_Math:i4,i7\", \"KaTeX_Script\",\r\n\t\t\t\t\t\"KaTeX_SansSerif:n4,n7,i4\", \"KaTeX_Size1\", \"KaTeX_Size2\", \"KaTeX_Size3\",\r\n\t\t\t\t\t\"KaTeX_Size4\", \"KaTeX_Typewriter\"],\r\n\t\t\t\t},\r\n\t\t\t};\r\n\t\t\r\n\t\t\tdocument.addEventListener(\"DOMContentLoaded\", function() {\r\n\t\t\t\tvar coll = document.getElementsByClassName(\"collapsible\");\r\n\t\t\t\tvar i;\r\n\r\n\t\t\t\tfor (i = 0; i < coll.length; i++) {\r\n\t\t\t\t  coll[i].addEventListener(\"click\", function() {\r\n\t\t\t\t\t\tthis.classList.toggle(\"active\");\r\n\t\t\t\t\t\tvar content = this.nextElementSibling;\r\n\t\t\t\t\t\tif (content.style.display === \"block\") {\r\n\t\t\t\t\t\t  content.style.display = \"none\";\r\n\t\t\t\t\t\t} else {\r\n\t\t\t\t\t\t  content.style.display = \"block\";\r\n\t\t\t\t\t\t}\r\n\t\t\t\t  });\r\n\t\t\t\t}\r\n\t\t\t});\r\n\t\t\r\n\t\t<\/script>\n<ol>\n<li>Betrachten wir die Position eines Objekts im dreidimensionalen Raum. Das Objekt befinde sich am Punkt $P(x,y,z)$. Wir definieren seinen Orts- bzw. Positionsvektor als $$\\vec {r} = \\begin{pmatrix} x \\\\ y \\\\ z \\end{pmatrix}$$<\/li>\n<li>Wenn sich ein Objekt bewegt, ver\u00e4ndern sich die Koordinaten seines Ortsvektors, d. h. sie sind zeitabh\u00e4ngig. Abh\u00e4ngigkeiten drucken wir in der Physik als Funktionen aus, d.h. die einzelnen Koordinaten sind Funktionen der Zeit: $$ \\vec {r(t)} =\\begin{pmatrix} x (t) \\\\ y(t) \\\\ z(t) \\end{pmatrix}$$<\/li>\n<li>In der Delta-Schreibweise k\u00f6nnen wir nun f\u00fcr die Positions\u00e4nderung Folgendes schreiben $$\\begin{aligned} \\Delta \\vec r &amp;=\\begin{pmatrix} \\Delta x \\\\ \\Delta y \\\\ \\Delta z \\end{pmatrix} \\\\ &amp;= \\begin{pmatrix} x_2 &#8211; x_1 \\\\ y_2 &#8211; y_1 \\\\ z_2 &#8211; z_1 \\end{pmatrix} \\\\ &amp;= \\begin{pmatrix} x(t_2) &#8211; x(t_1) \\\\ y(t_2) &#8211; y(t_1) \\\\ z(t_2) &#8211; z(t_1) \\end{pmatrix} \\end{aligned} $$<\/li>\n<li>F\u00fcr die Geschwindigkeit dividieren wir die Positions\u00e4nderung $\\Delta \\vec r$ durch die ben\u00f6tigte Zeit $\\Delta t$ und erhalten $$\\begin{aligned} \\vec {v(t)} &amp;= \\frac{\\Delta \\vec r}{\\Delta t} =\\begin{pmatrix} \\frac{\\Delta x}{\\Delta t} \\\\ \\frac{\\Delta y}{\\Delta t} \\\\ \\frac{\\Delta z}{\\Delta t} \\end{pmatrix} \\\\ &amp;= \\begin{pmatrix} \\frac{x_2 &#8211; x_1}{t_2 &#8211; t_1} \\\\ \\frac{y_2 &#8211; y_1}{t_2 &#8211; t_1} \\\\ \\frac{z_2 &#8211; z_1}{t_2 &#8211; t_1} \\end{pmatrix} \\\\ &amp;= \\begin{pmatrix} \\frac{x(t_2) &#8211; x(t_1)}{t_2 &#8211; t_1} \\\\ \\frac{y(t_2) &#8211; y(t_1)}{t_2 &#8211; t_1} \\\\ \\frac{z(t_2) &#8211; z(t_1)}{t_2 &#8211; t_1} \\end{pmatrix} \\\\ &amp;= \\begin{pmatrix} v_x \\\\ v_y \\\\ v_z \\end{pmatrix} \\end{aligned}$$<\/li>\n<li>Die Geschwindigkeit ist also, genauso, wie die Position ein Vektor. Dies kann man sich anschaulich so vorstellen, dass eine Bewegung und auch die entsprechende Geschwindigkeit eine Richtung besitzt. Unsere Betrachtungen aus Kapitel 1 haben sich nur auf den Betrag des Geschwindigkeitsvektors beschr\u00e4nkt. Nun k\u00f6nnen wir auch entsprechend die Bewegungsrichtung ber\u00fccksichtigen.<\/li>\n<li>Die Beschleunigung ist ebenfalls eine Vektorgr\u00f6\u00dfe. F\u00fcr sie gilt in analoger Weise $$ \\vec{a(t)} = \\frac{\\Delta \\vec v}{\\Delta t} =\\begin{pmatrix} \\frac{\\Delta v_x}{\\Delta t} \\\\ \\frac{\\Delta v_y}{\\Delta t} \\\\ \\frac{\\Delta v_z}{\\Delta t} \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} a_x \\\\ a_y \\\\ a_z \\end{pmatrix}$$<\/li>\n<li>In der Regel (nicht immer) beeinflussen sich die Koordinaten des Orts-, des Geschwindigkeits- und des Beschleunigungsvektors nicht gegenseitig. Das bedeutet, dass die Bewegung eines Objekts in x Richtung v\u00f6llig unabh\u00e4ngig von seiner Bewegung in y- oder z-Richtung betrachtet werden kann. Ein gutes Beispiel hierf\u00fcr sind die Wurfbewegungen. Hierbei kann die Bewegung in x-, y- und Z-Richtung zerlegt und bis zum Ende separat voneinander betrachtet werden.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n\n\n<p><button onclick=\"location.href='https:\/\/nurlernen.de\/physik\/physik-inhalte\/'\">Lernbereich<\/button>\r\n<!--button onclick=\"location.href='https:\/\/nurlernen.de\/physik\/physik-lernkontrolle\/'\">Lernkontrolle<\/button-->\r\n<!--button onclick=\"location.href='\/physik-fragenkatalog'\"&gt;Fragenkatalog (F\u00fcr Lehrer)&lt;\/button-->\r\n<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Betrachten wir die Position eines Objekts im dreidimensionalen Raum.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-288","page","type-page","status-publish"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v27.5 - https:\/\/yoast.com\/product\/yoast-seo-wordpress\/ -->\n<title>Die 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