{"id":325,"date":"2020-04-01T10:37:26","date_gmt":"2020-04-01T08:37:26","guid":{"rendered":"http:\/\/www.niemma.de\/shop\/?p=325"},"modified":"2025-11-13T10:02:56","modified_gmt":"2025-11-13T09:02:56","slug":"der-senkrechte-wurf","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/nurlernen.de\/physik\/der-senkrechte-wurf\/","title":{"rendered":"Der senkrechte Wurf"},"content":{"rendered":"<div id=\"results\" class=\"container\">\n\r\n\t\t<style>\r\n\t\t\t.collapsible {\r\n\t\t\t\tcolor: #303f9f;\t\r\n\t\t\t\tcursor: pointer; \r\n\t\t\t}\r\n\t\t\t.collapsible:hover {\r\n\t\t\t  text-decoration: underline;\r\n\t\t\t}\r\n\r\n\t\t\t.hidden_content {\r\n\t\t\t\tdisplay: none;\r\n\t\t\t\tbackground-color: #eeeeee\t\t  \r\n\t\t\t}\r\n\t\t<\/style>\r\n\t\t\r\n\t\t<script>\r\n\t\t\tdocument.addEventListener(\"DOMContentLoaded\", function() {\r\n\t\t\t\trenderMathInElement(document.body,\t\r\n\t\t\t\t{delimiters: [{left: \"$$\", right: \"$$\", display: true},\r\n\t\t\t\t{left: \"$\", right: \"$\", display: false},\r\n\t\t\t\t]});\r\n\t\t\t});\r\n\t\t\r\n\t\t\twindow.WebFontConfig = {\r\n\t\t\t\tcustom: {\r\n\t\t\t\t  families: [\"KaTeX_AMS\", \"KaTeX_Caligraphic:n4,n7\", \"KaTeX_Fraktur:n4,n7\",\r\n\t\t\t\t\t\"KaTeX_Main:n4,n7,i4,i7\", \"KaTeX_Math:i4,i7\", \"KaTeX_Script\",\r\n\t\t\t\t\t\"KaTeX_SansSerif:n4,n7,i4\", \"KaTeX_Size1\", \"KaTeX_Size2\", \"KaTeX_Size3\",\r\n\t\t\t\t\t\"KaTeX_Size4\", \"KaTeX_Typewriter\"],\r\n\t\t\t\t},\r\n\t\t\t};\r\n\t\t\r\n\t\t\tdocument.addEventListener(\"DOMContentLoaded\", function() {\r\n\t\t\t\tvar coll = document.getElementsByClassName(\"collapsible\");\r\n\t\t\t\tvar i;\r\n\r\n\t\t\t\tfor (i = 0; i < coll.length; i++) {\r\n\t\t\t\t  coll[i].addEventListener(\"click\", function() {\r\n\t\t\t\t\t\tthis.classList.toggle(\"active\");\r\n\t\t\t\t\t\tvar content = this.nextElementSibling;\r\n\t\t\t\t\t\tif (content.style.display === \"block\") {\r\n\t\t\t\t\t\t  content.style.display = \"none\";\r\n\t\t\t\t\t\t} else {\r\n\t\t\t\t\t\t  content.style.display = \"block\";\r\n\t\t\t\t\t\t}\r\n\t\t\t\t  });\r\n\t\t\t\t}\r\n\t\t\t});\r\n\t\t\r\n\t\t<\/script>\n<ol>\n<li>Bei den Wurf- und Fallaufgaben wird das Verhalten eines Objekts unter dem Einfluss der Erdanziehung f\u00fcr bestimmte Anfangsgeschwindigkeiten untersucht.<\/li>\n<li>Die Erde zieht alle K\u00f6rper mit einer Masse m mit der Gewichtskraft $$\\boxed{F = m \\cdot g}$$ an. Dabei zeigt die Gewichtskraft zum Erdmittelpunkt, also nach unten.<\/li>\n<li>Wenn ein Objekt fallen gelassen wird, ist seine Anfangsgeschwindigkeit gleich Null. Wir sprechen dann von einem freien Fall. Hierbei wirkt nur die Erdanziehung in Form der Gewichtskraft.<\/li>\n<li>Wenn ein Objekt geworfen wird, ist seine Anfangsgeschwindigkeit ungleich Null. Wir sprechen dann von einem Wurf. Erfolgt der Wurf senkrecht nach oben, dann sprechen wir von einem vertikalen Wurf nach oben. Wird das Objekt horizontal, d. h. parallel zur Erdoberfl\u00e4che geworfen, so sprechen wir von einem horizontalen Wurf. Erfolgt der Wurf schief, so sprechen wir von einem schiefen Wurf.<\/li>\n<\/ol>\n<h3>Der Senkrechte Wurf<\/h3>\n<ol>\n<li>Beim senkrechten Wurf nach oben oder unten, wirkt nur die Gewichtskraft (nach unten). Es erfolgt keine Bewegung in horizontaler Richtung. Deshalb k\u00f6nnen wir das Problem in nur einer Dimension n\u00e4mlich in der vertikalen Dimension (y-Achse) l\u00f6sen (da sich ja in horizontaler Dimension nichts tut).<\/li>\n<li>Beim senkrechten Wurf nach oben, ist die Anfangsgeschwindigkeit in vertikaler Richtung ($v_{0,y}$) positiv. Beim senkrechten Wurf nach unten, ist die Anfangsgeschwindigkeit in vertikaler Richtung ($v_{0,y}$) hingegen negativ. In beiden F\u00e4llen ist die Anfangsgeschwindigkeit in vertikaler Richtung ungleich Null d. h. f\u00fcr die Anfangsgeschwindigkeit gilt $$\\vec v_0 = \\begin{pmatrix} 0 \\\\ v_{0,y} \\end{pmatrix}$$ Dies ist der einzige Unterschied zwischen dem freien Fall (wo $v_{0,y}=0$) und dem senkrechten Wurf (wo $v_{0,y} \\not = 0$).<\/li>\n<li>F\u00fcr die Geschwindigkeit in Abh\u00e4ngigkeit von der Zeit gilt: $$\\vec v(t) = \\begin{pmatrix} 0 \\\\ -gt + v_{0,y} \\end{pmatrix}$$<\/li>\n<li>F\u00fcr die Position bzw. die zur\u00fcckgelegte Strecke in Abh\u00e4ngigkeit von der Zeit gilt: $$\\vec r(t) = \\begin{pmatrix} 0 \\\\ &#8211; \\frac 1 2 gt^2 + v_{0,y} t + y_0 \\end{pmatrix}$$ Wobei $y_0$ die Starth\u00f6he des Falls darstellt.<\/li>\n<li>F\u00fcr die Betrachtung des senkrechten Wurfs ist nur die vertikale Komponenten (y-Richtung) des Orts-, Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektors relevant. Deshalb machen wir uns das Leben einfach und betrachten im weiteren Verlauf das Problem in nur einer Dimension (y-Achse).<\/li>\n<\/ol>\n<h3>Abschlie\u00dfende Bemerkungen zu Wurfaufgaben<\/h3>\n<ol>\n<li>Wann wird die maximale H\u00f6he erreicht?<br \/>Wenn ein Objekt nach oben geworfen wird, wird es mit der Zeit langsamer, bis es zum Stillstand kommt und anschlie\u00dfend nach unten f\u00e4llt. <u> Am h\u00f6chsten Punkt der Wurfbahn (HP) ist die Vertikale Geschwindigkeit gleich Null <\/u>, d. h. $v_y(t_{HP})=0$. Hieraus kann nun die Zeit $t_{HP}$ berechnet werden, die ein Objekt ben\u00f6tigt, um den h\u00f6chsten Punkt zu erreichen.<br \/>F\u00fcr die y-Koordinate (vertikale) der Geschwindigkeit gilt allgemein $$v_y (t) = -g t + v_{0,y}$$ F\u00fcr den h\u00f6chsten Punkt schreiben wir also $$v_y(t_{HP})=0$$ $$-g t_{HP} + v_{0,y} = 0$$ $$ t_{HP} = \\frac{v_{0,y}}{g}$$<\/li>\n<li>Welche maximale H\u00f6he erreicht ein Objekt nach dem Wurf?<br \/>Am h\u00f6chsten Punkt der Wurfbahn ist die Vertikale Geschwindigkeit gleich Null, d. h. $v_y(t_{HP})=0$. Hieraus kann nun die Zeit $t_{HP}$ berechnet werden, die ein Objekt ben\u00f6tigt, um den h\u00f6chsten Punkt zu erreichen. Die maximale H\u00f6he ist dann die y-Koordinate des h\u00f6chsten Punktes, also $$y (t_{HP}) = &#8211; \\frac 1 2 g t_{HP}^2 + v_{0,y} t_{HP} + y_{0,y}$$<\/li>\n<li>Wann erreicht das Objekt den Boden (auch Flugzeit genannt)?<br \/>So, wie wir unser Bezugssystem gew\u00e4hlt haben, hat das Objekt am Boden die H\u00f6he $y (t_F)=0$, wobei $t_F$ die gesuchte Flugzeit oder Aufprallzeit darstellt. F\u00fcr die H\u00f6he (d.h. die vertikale Komponente des Positionsvektors) gilt $$- \\frac 1 2 gt_F^2 + v_{0,y} t_F + y_0 = 0$$ Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit $-\\frac 2 g$ und erhalten $$t_F^2 -\\frac {2 v_{0,y}}{g} t_F &#8211; \\frac{2 y_0}{g} = 0$$ Dies ist eine quadratische Gleichung der Form $t^2+pt+q^2 =0$ mit $p=-\\frac {2 v_{0,y}}{g}$ und $q=- \\frac{2 y_0}{g}$, die wir mit der p-q-Formel l\u00f6sen k\u00f6nnen $$t_{F} = \\frac {v_{0,y}}{g} \\pm \\sqrt{(\\frac {v_{0,y}}{g})^2 + \\frac{2 y_0}{g}}$$ Dies ist die allgemeine Formel f\u00fcr die Flugzeit. Diese Formel kann f\u00fcr alle Wurfaufgaben verwendet werden. F\u00fcr den senkrechten Wurf nach oben und unten ist die Flugzeit $$t_F = \\frac {v_{0,y}}{g} \\pm \\sqrt{(\\frac {v_{0,y}}{g})^2 + \\frac{2 y_0}{g}}$$<br \/><i>Ich empfehle dir diese Formel gar nicht auswendig zu lernen. Was du brauchst ist nur $y (t_F)=0$ f\u00fcr die Flugzeit und nat\u00fcrlich $y(t) = &#8211; \\frac 1 2 gt^2 + v_{0,y} t + y_0$. Damit kannst du dir die Flugzeiten f\u00fcr alle m\u00f6glichen Szenarien ausrechnen. Das musst du nur ein Paar mal selbst \u00fcben und dann klappt es auch. Mach dir nicht das Leben so schwer indem du alle Formeln auswendig lernst. Lerne von den Physikern und beschr\u00e4nke dich nur auf die wichtigen Formeln, die meistens mit einem Kasten umrandet sind. Physiker sind alles faule Leute (ich \u00fcbrigens auch). Sie wollen die ganze Welt mit nur einer einzigen Formel beschreiben! Alles andere wird hergeleitet, wenn und wie man es ben\u00f6tigt.<\/i><\/li>\n<li>Mit welcher Geschwindigkeit erreicht das Objekt den Boden (Aufprallgeschwindigkeit)?<br \/>F\u00fcr die Geschwindigkeit in Abh\u00e4ngigkeit von der Zeit gilt: $$ v(t) = -gt + v_{0,y} $$ Beim Aufprall gilt $t=t_F$, die wir oben berechnet haben. Die Geschwindigkeit beim Aufprall ist also $$v(t_F) = -gt_F + v_{0,y}$$ Einsetzen ergibt $$v(t_F) = -g (\\frac {v_{0,y}}{g} \\pm \\sqrt{(\\frac {v_{0,y}}{g})^2 + \\frac{2 y_0}{g}}) + v_{0,y}$$ Vereinfachen liefert $$v(t_F) = \\sqrt{v^2_{0,y} + 2 g y_0}$$<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n\n\n<p><button onclick=\"location.href='https:\/\/nurlernen.de\/physik\/physik-inhalte\/'\">Lernbereich<\/button>\r\n<!--button onclick=\"location.href='https:\/\/nurlernen.de\/physik\/physik-lernkontrolle\/'\">Lernkontrolle<\/button-->\r\n<!--button onclick=\"location.href='\/physik-fragenkatalog'\"&gt;Fragenkatalog (F\u00fcr Lehrer)&lt;\/button-->\r\n<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Beim senkrechten Wurf nach oben oder unten, wirkt nur die Gewichtskraft (nach unten). 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