{"id":328,"date":"2020-04-01T10:39:23","date_gmt":"2020-04-01T08:39:23","guid":{"rendered":"http:\/\/www.niemma.de\/shop\/?p=328"},"modified":"2025-11-07T08:40:21","modified_gmt":"2025-11-07T07:40:21","slug":"der-waagerechte-wurf","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/nurlernen.de\/physik\/der-waagerechte-wurf\/","title":{"rendered":"Der waagerechte Wurf"},"content":{"rendered":"\r\n\t\t<style>\r\n\t\t\t.collapsible {\r\n\t\t\t\tcolor: #303f9f;\t\r\n\t\t\t\tcursor: pointer; \r\n\t\t\t}\r\n\t\t\t.collapsible:hover {\r\n\t\t\t  text-decoration: underline;\r\n\t\t\t}\r\n\r\n\t\t\t.hidden_content {\r\n\t\t\t\tdisplay: none;\r\n\t\t\t\tbackground-color: #eeeeee\t\t  \r\n\t\t\t}\r\n\t\t<\/style>\r\n\t\t\r\n\t\t<script>\r\n\t\t\tdocument.addEventListener(\"DOMContentLoaded\", function() {\r\n\t\t\t\trenderMathInElement(document.body,\t\r\n\t\t\t\t{delimiters: [{left: \"$$\", right: \"$$\", display: true},\r\n\t\t\t\t{left: \"$\", right: \"$\", display: false},\r\n\t\t\t\t]});\r\n\t\t\t});\r\n\t\t\r\n\t\t\twindow.WebFontConfig = {\r\n\t\t\t\tcustom: {\r\n\t\t\t\t  families: [\"KaTeX_AMS\", \"KaTeX_Caligraphic:n4,n7\", \"KaTeX_Fraktur:n4,n7\",\r\n\t\t\t\t\t\"KaTeX_Main:n4,n7,i4,i7\", \"KaTeX_Math:i4,i7\", \"KaTeX_Script\",\r\n\t\t\t\t\t\"KaTeX_SansSerif:n4,n7,i4\", \"KaTeX_Size1\", \"KaTeX_Size2\", \"KaTeX_Size3\",\r\n\t\t\t\t\t\"KaTeX_Size4\", \"KaTeX_Typewriter\"],\r\n\t\t\t\t},\r\n\t\t\t};\r\n\t\t\r\n\t\t\tdocument.addEventListener(\"DOMContentLoaded\", function() {\r\n\t\t\t\tvar coll = document.getElementsByClassName(\"collapsible\");\r\n\t\t\t\tvar i;\r\n\r\n\t\t\t\tfor (i = 0; i < coll.length; i++) {\r\n\t\t\t\t  coll[i].addEventListener(\"click\", function() {\r\n\t\t\t\t\t\tthis.classList.toggle(\"active\");\r\n\t\t\t\t\t\tvar content = this.nextElementSibling;\r\n\t\t\t\t\t\tif (content.style.display === \"block\") {\r\n\t\t\t\t\t\t  content.style.display = \"none\";\r\n\t\t\t\t\t\t} else {\r\n\t\t\t\t\t\t  content.style.display = \"block\";\r\n\t\t\t\t\t\t}\r\n\t\t\t\t  });\r\n\t\t\t\t}\r\n\t\t\t});\r\n\t\t\r\n\t\t<\/script>\n<h4>Was ist der Waagerechte Wurf?<\/h4>\n<div id=\"results\" class=\"container\">\n<ol>\n<li>Nun wollen wir einen weiteren Wurf, den waagerechten Wurf verstehen und uns die relavanten Formeln anhand einiger Beispiele herleiten.<\/li>\n<li>Beim waagerechten Wurf, wirkt nur die Gewichtskraft (nach unten), die eine Fall-Bewegung, wie beim freien Fall in vertikaler Richtung hervorruft. Es erfolgt zus\u00e4tzlich eine Bewegung in horizontaler Richtung, da die Anfangsgeschwindigkeit in horizontaler Richtung ($v_{0,x}$) nicht gleich Null ist. Deshalb m\u00fcssen wir das Problem in zwei Dimension n\u00e4mlich in der vertikalen (y-Achse) und horizontalen (x-Achse) Dimension l\u00f6sen.<\/li>\n<li>Beim waagerechten Wurf erfolgen die Bewegungen in horizontaler (x-) und vertikaler (y-) Richtung vollst\u00e4ndig unabh\u00e4ngig voneinander. Das ist sehr vorteilhaft, da wir dann die x- und y-Koordinaten der Bewegungsvektoren separat berechnen k\u00f6nnen.<\/li>\n<li>Beim waagerechten Wurf, ist die Anfangsgeschwindigkeit in horizontaler Richtung ungleich Null, aber in vertikaler Richtung gleich Null, d. h. $$\\vec v_0 = \\begin{pmatrix} v_{0,x} \\\\ 0 \\end{pmatrix}$$<\/li>\n<li>F\u00fcr die Geschwindigkeit in Abh\u00e4ngigkeit von der Zeit gilt: $$\\vec v(t) = \\begin{pmatrix} v_{0,x} \\\\ -gt \\end{pmatrix}$$<\/li>\n<li>F\u00fcr die Position in Abh\u00e4ngigkeit von der Zeit gilt: $$\\vec r(t) = \\begin{pmatrix} v_{0,x} t + x_0 \\\\ &#8211; \\frac 1 2 gt^2 + y_0 \\end{pmatrix}$$ Wobei $y_0$ die Starth\u00f6he des Falls darstellt. Um die Betrachtung zu vereinfachen, w\u00e4hlen wir unser Bezugssystem so, dass gilt $x_0 = 0$. F\u00fcr die Position in Abh\u00e4ngigkeit von der Zeit gilt dann: $$\\vec r(t) = \\begin{pmatrix} v_{0,x} t \\\\ &#8211; \\frac 1 2 gt^2 + y_0 \\end{pmatrix}$$<\/li>\n<\/ol>\n<h4>Wann wird die maximale H\u00f6he erreicht?<\/h4>\n<p>Beim waagerechten Wurf genau, wie beim freien Fall ist die maximale H\u00f6he bereits am Anfang ($t=0$) gegeben, d.h. bei $t=0$ befindet sich das Objekt am h\u00f6chsten Punkt. Danach f\u00e4llt ja das Objekt nur noch nach unten, wobei die H\u00f6he abnimmt.<\/p>\n<h4>Wann erreicht das Objekt den Boden (auch Flugzeit $t_F$ genannt)?<\/h4>\n<p>Wir w\u00e4hlen unser Koordinatensystem so, dass das Objekt am Boden die H\u00f6he Null, d.h. $y (t_F)=0$, wobei $t_F$ die gesuchte Flugzeit oder Aufprallzeit darstellt. F\u00fcr die H\u00f6he (d.h. die vertikale Komponente des Positionsvektors) gilt $$- \\frac 1 2 gt_{F}^2 + v_{0,y} t_F + y_0 = 0$$<\/p>\n<p>Beim waagerechten Wurf (wie beim freien Fall) ist die vertikale Startgeschwindigkeit Null hat, d.h. $v_{0,y} = 0$. Einsetzen liefert $$- \\frac 1 2 gt_{F}^2 + y_0 = 0$$<\/p>\n<p>Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit $-\\frac 2 g$ und erhalten $$t_{F}^2 &#8211; \\frac{2 y_0}{g} = 0$$ Dies ist eine quadratische Gleichung der Form $t^2+pt+q =0$ mit $p=0$ und $q=- \\frac{2 y_0}{g}$, die wir mit der p-q-Formel l\u00f6sen k\u00f6nnen $$t_{F} = \\sqrt {\\frac {2y_0}{g}}$$<\/p>\n<p><i>Ich empfehle dir diese Formel gar nicht auswendig zu lernen. Was du brauchst ist nur $y (t_F)=0$ f\u00fcr die Flugzeit und nat\u00fcrlich $y(t) = &#8211; \\frac 1 2 gt^2 + v_{0,y} t + y_0$. Damit kannst du dir die Flugzeiten f\u00fcr alle m\u00f6glichen Szenarien ausrechnen. Das musst du nur ein Paar Mal selbst \u00fcben und dann klappt es auch. Mach dir nicht das Leben so schwer indem du alle Formeln auswendig lernst. Lerne von den Physikern und beschr\u00e4nke dich nur auf die wichtigen Formeln, die meistens mit einem Kasten umrandet sind. Physiker sind alles faule Leute (ich \u00fcbrigens auch). Sie wollen die ganze Welt mit nur einer einzigen Formel beschreiben! Alles andere wird hergeleitet, wenn und wie man es ben\u00f6tigt.<\/i><\/p>\n<h4>Mit welcher Geschwindigkeit erreicht das Objekt den Boden (Aufprallgeschwindigkeit)?<\/h4>\n<p>F\u00fcr die Geschwindigkeit in Abh\u00e4ngigkeit von der Zeit gilt: $$\\vec v(t) = \\begin{pmatrix} v_{0,x} \\\\ -gt \\end{pmatrix}$$ Beim Aufprall gile $t=t_F$, die wir oben berechnet haben. Der Geschwindigkeitsvektor beim Aufprall lautet also $$\\vec v(t_F) = \\begin{pmatrix} v_{0,x} \\\\ -gt_F \\end{pmatrix}$$<\/p>\n<p>F\u00fcr die Gr\u00f6\u00dfe der Geschwindigkeit, d.h. den Betrag des Geschwindigkeitvektors gilt $$v =\\sqrt{(v_{0,x})^2 +(-gt_F)^2}$$ Einsetzen liefert $$v =\\sqrt{(v_{0,x})^2 +(-g \\sqrt {\\frac {2y_0}{g}})^2}$$ Vereinfachen ergibt $$v =\\sqrt{(v_{0,x})^2 +2 g y_0}$$<\/p>\n<h4>Wie weit fliegt das Objekt, bis es den Boden erreicht?<\/h4>\n<p>Hierzu ben\u00f6tigen wir erstmal die Flugzeit $t_F$, die wir weiter oben berechnet haben $$t_{F} = \\sqrt {\\frac {2y_0}{g}}$$ Anschlie\u00dfend setzen wir $t_F$ in die horizontale (x-) Komponente des Ortsvektors $x(t)= v_{0,x} \\cdot t $ ein und erhalten f\u00fcr die Flugweite $x_F$ $$x_F = x(t_F) = v_{0,x} \\cdot t_F$$ $$x_F = v_{0,x} \\cdot \\sqrt {\\frac {2y_0}{g}}$$<\/p>\n<p>Hier geht es zum Test:\u00a0<a href=\"https:\/\/nurlernen.de\/physik\/physik-lernkontrolle\/\">Lernkontrolle (Kapitel 3)<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n<p><button onclick=\"location.href='https:\/\/nurlernen.de\/physik\/physik-lernkontrolle\/?quiz=l_100248_q'\">Direkt zum Test<\/button>\n<button onclick=\"location.href='https:\/\/nurlernen.de\/physik\/physik-inhalte\/'\">Lernbereich<\/button>\n<!--button onclick=\"location.href='\/physik-fragenkatalog'\"&gt;Fragenkatalog (F\u00fcr Lehrer)&lt;\/button-->\n<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Beim waagerechten Wurf, wirkt nur die Gewichtskraft (nach unten), die eine Fall-Bewegung, wie beim freien Fall in vertikaler Richtung hervorruft. 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