{"id":331,"date":"2020-04-01T10:43:32","date_gmt":"2020-04-01T08:43:32","guid":{"rendered":"http:\/\/www.niemma.de\/shop\/?p=331"},"modified":"2025-08-07T13:26:08","modified_gmt":"2025-08-07T11:26:08","slug":"das-rechtwinkelige-dreieck","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/nurlernen.de\/physik\/das-rechtwinkelige-dreieck\/","title":{"rendered":"Das rechtwinkelige Dreieck"},"content":{"rendered":"<div id=\"results\" class=\"container\">\n\r\n\t\t<style>\r\n\t\t\t.collapsible {\r\n\t\t\t\tcolor: #303f9f;\t\r\n\t\t\t\tcursor: pointer; \r\n\t\t\t}\r\n\t\t\t.collapsible:hover {\r\n\t\t\t  text-decoration: underline;\r\n\t\t\t}\r\n\r\n\t\t\t.hidden_content {\r\n\t\t\t\tdisplay: none;\r\n\t\t\t\tbackground-color: #eeeeee\t\t  \r\n\t\t\t}\r\n\t\t<\/style>\r\n\t\t\r\n\t\t<script>\r\n\t\t\tdocument.addEventListener(\"DOMContentLoaded\", function() {\r\n\t\t\t\trenderMathInElement(document.body,\t\r\n\t\t\t\t{delimiters: [{left: \"$$\", right: \"$$\", display: true},\r\n\t\t\t\t{left: \"$\", right: \"$\", display: false},\r\n\t\t\t\t]});\r\n\t\t\t});\r\n\t\t\r\n\t\t\twindow.WebFontConfig = {\r\n\t\t\t\tcustom: {\r\n\t\t\t\t  families: [\"KaTeX_AMS\", \"KaTeX_Caligraphic:n4,n7\", \"KaTeX_Fraktur:n4,n7\",\r\n\t\t\t\t\t\"KaTeX_Main:n4,n7,i4,i7\", \"KaTeX_Math:i4,i7\", \"KaTeX_Script\",\r\n\t\t\t\t\t\"KaTeX_SansSerif:n4,n7,i4\", \"KaTeX_Size1\", \"KaTeX_Size2\", \"KaTeX_Size3\",\r\n\t\t\t\t\t\"KaTeX_Size4\", \"KaTeX_Typewriter\"],\r\n\t\t\t\t},\r\n\t\t\t};\r\n\t\t\r\n\t\t\tdocument.addEventListener(\"DOMContentLoaded\", function() {\r\n\t\t\t\tvar coll = document.getElementsByClassName(\"collapsible\");\r\n\t\t\t\tvar i;\r\n\r\n\t\t\t\tfor (i = 0; i < coll.length; i++) {\r\n\t\t\t\t  coll[i].addEventListener(\"click\", function() {\r\n\t\t\t\t\t\tthis.classList.toggle(\"active\");\r\n\t\t\t\t\t\tvar content = this.nextElementSibling;\r\n\t\t\t\t\t\tif (content.style.display === \"block\") {\r\n\t\t\t\t\t\t  content.style.display = \"none\";\r\n\t\t\t\t\t\t} else {\r\n\t\t\t\t\t\t  content.style.display = \"block\";\r\n\t\t\t\t\t\t}\r\n\t\t\t\t  });\r\n\t\t\t\t}\r\n\t\t\t});\r\n\t\t\r\n\t\t<\/script>\n<ol>\n<li>Wenn man drei Punkte, die nicht auf einer Gerade liegen miteinander verbindet, dann erh\u00e4lt man ein Dreieck. Das Dreieck ist die einfachste geometrische Struktur, die eine zweidimensionale Ebene definiert. Wir haben gesehen, dass die grafische Addition von Vektoren ebenfalls Dreiecke produziert.<\/li>\n<li>Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks auf einer flachen Ebene betr\u00e4gt 180\u00b0. Wenn die Ebene gekr\u00fcmmt ist, dann kann auch die Summe der Winkel eines Dreiecks mehr oder weniger als 180\u00b0 betragen. Um herauszufinden, ob das Universum flach oder gekr\u00fcmmt ist, m\u00fcssen wir also die Innenwinkel eines gro\u00dfen Dreiecks (z. B. zwischen den Galaxien) messen.<\/li>\n<li>Ein Winkel von 90\u00b0 wird ein rechter Winkel genannt. Ein Dreieck, das einen rechten Winkel besitzt, bezeichnet man als ein rechtwinkeliges Dreieck. In einem rechtwinkeligen Dreieck ist die Seite, die dem rechten Winkel gegen\u00fcber liegt, die l\u00e4ngste Seite. Sie wird Hypotenuse genannt. Es ist die Seite c in der Abbildung 1a.<br \/>\n<figure class=\"wp-block-image size-large\">\n<p><figure id=\"attachment_232\" aria-describedby=\"caption-attachment-232\" style=\"width: 340px\" class=\"wp-caption alignright\"><img decoding=\"async\" class=\"wp-image-232\" title=\"Abbildung 1: a: Seiten und Winkel in einem rechtwinkeligen Dreieck b: Seiten und Winkel in einem nicht rechtwinkeligen Dreieck\" src=\"http:\/\/nurlernen.de\/physik\/wp-content\/uploads\/sites\/3\/2025\/07\/l_100235_a.png\" alt=\"Winkeln im Dreieck\" width=\"350\"\/><figcaption id=\"caption-attachment-232\" class=\"wp-caption-text\">Abbildung 1: a: Seiten und Winkel in einem rechtwinkeligen Dreieck b: Seiten und Winkel in einem nicht rechtwinkeligen Dreieck<\/figcaption><\/figure><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<\/li>\n<li>Betrachten wir einen nicht rechten Winkel in einem Rechtwinkeligen Dreieck: Die Seite, die dem Winkel gegen\u00fcber liegt, wird Gegenkathete genannt. Die Seite, die an dem betrachteten Winkel liegt wird Ankathete genannt.<\/li>\n<li>Der Grieche Pythagoras hat schon vor ca. 2500 Jahren herausgefunden, dass die Summe der Quadraten der k\u00fcrzeren Seiten in einem rechtwinkeligen Dreieck gleich dem Quadrat der Hypotenuse in diesem Dreieck ist. $$\\boxed{a^2+b^2=c^2} \\enspace \\text{Satz vom Pythagoras}$$<\/li>\n<li>In einem rechtwinkeligen Dreieck sind einige Verh\u00e4ltnisse besonders relevant z. B. Gegenkathete eines Winkels dividiert durch die Hypotenuse. Diese Verh\u00e4ltnisse benennen wir, damit wir genau wissen von welchem Verh\u00e4ltnis wir sprechen $$\\text{Der Sinus eines Winkels} =\\frac{\\text{Gegenkathete des Winkels}}{\\text{Hypotenuse}} $$ $$\\text{Der Kosinus eines Winkels} =\\frac{\\text{Ankathete des Winkels}}{\\text{Hypotenuse}}$$ F\u00fcr den Winkel $\\alpha$ k\u00f6nnen wir schreiben $$ sin(\\alpha) =\\frac a c $$ $$ cos(\\alpha) =\\frac b c $$ F\u00fcr den Winkel $\\beta$ k\u00f6nnen wir schreiben $$ sin(\\beta) =\\frac b c $$ $$ cos(\\beta) =\\frac a c $$ F\u00fcr den Winkel $\\gamma$ k\u00f6nnen wir schreiben $$ sin(\\gamma) =\\frac c c = 1 $$ $$ cos(\\gamma) =\\frac ? c = 0 $$<\/li>\n<li>Aus diesen einfachen Definitionen k\u00f6nnen wir folgendes herleiten: $$\\boxed{sin(\\alpha)^2 + cos(\\alpha)^2 = 1}$$ $$\\boxed{sin(0) = cos (90) = 0}$$ $$\\boxed{sin(90) = cos(0) = 1}$$<\/li>\n<li>In einem beliebigen Dreieck gilt der sogenannte Kosinussatz $$\\boxed{a^2 = c^2 +b^2 &#8211; 2bc \\cdot cos (\\alpha)}$$ $$\\boxed{b^2 = a^2 +c^2 &#8211; 2ac \\cdot cos (\\beta)}$$ $$\\boxed{c^2 = a^2 +b^2 &#8211; 2ab \\cdot cos (\\gamma)}$$<\/li>\n<li>Wir definieren zus\u00e4tzliche den Tangens (tan) und den Kotangens (cotan) eines Winkels, in dem wir den Sinus durch den Kosinus dividieren und erhalten: $$\\boxed{tan(\\alpha) = \\frac{sin(\\alpha)}{cos(\\alpha)} = \\frac {1}{cotan(\\alpha)}}$$ $$\\boxed{cotan(\\alpha) = \\frac{cos(\\alpha)}{sin(\\alpha)} = \\frac {1}{tan(\\alpha)}}$$ Im rechtwinkeligen Dreieck gilt also $$tan (\\alpha) = \\frac {a\/c}{b\/c} = \\frac a b $$ $$cotan (\\alpha) = \\frac {b\/c}{a\/c} = \\frac b a$$<\/li>\n<li>F\u00fcr zwei beliebige Winkel $\\alpha$ und $\\beta$ gilt: $$sin(\\alpha+\\beta) = sin(\\alpha)cos(\\beta) +cos(\\alpha)sin(\\beta)$$ $$cos(\\alpha+\\beta) = cos(\\alpha)cos(\\beta) &#8211; sin(\\alpha)sin(\\beta)$$<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n\n\n<p><button onclick=\"location.href='https:\/\/nurlernen.de\/physik\/physik-inhalte\/'\">Lernbereich<\/button>\r\n<!--button onclick=\"location.href='https:\/\/nurlernen.de\/physik\/physik-lernkontrolle\/'\">Lernkontrolle<\/button-->\r\n<!--button onclick=\"location.href='\/physik-fragenkatalog'\"&gt;Fragenkatalog (F\u00fcr Lehrer)&lt;\/button-->\r\n<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Wenn man drei Punkte, die nicht auf einer Gerade liegen miteinander verbindet, dann erh\u00e4lt man ein Dreieck. 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