{"id":337,"date":"2020-04-01T10:50:20","date_gmt":"2020-04-01T08:50:20","guid":{"rendered":"http:\/\/www.niemma.de\/shop\/?p=337"},"modified":"2025-11-04T11:03:21","modified_gmt":"2025-11-04T10:03:21","slug":"der-schiefe-wurf","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/nurlernen.de\/physik\/der-schiefe-wurf\/","title":{"rendered":"Der schiefe Wurf"},"content":{"rendered":"\r\n\t\t<style>\r\n\t\t\t.collapsible {\r\n\t\t\t\tcolor: #303f9f;\t\r\n\t\t\t\tcursor: pointer; \r\n\t\t\t}\r\n\t\t\t.collapsible:hover {\r\n\t\t\t  text-decoration: underline;\r\n\t\t\t}\r\n\r\n\t\t\t.hidden_content {\r\n\t\t\t\tdisplay: none;\r\n\t\t\t\tbackground-color: #eeeeee\t\t  \r\n\t\t\t}\r\n\t\t<\/style>\r\n\t\t\r\n\t\t<script>\r\n\t\t\tdocument.addEventListener(\"DOMContentLoaded\", function() {\r\n\t\t\t\trenderMathInElement(document.body,\t\r\n\t\t\t\t{delimiters: [{left: \"$$\", right: \"$$\", display: true},\r\n\t\t\t\t{left: \"$\", right: \"$\", display: false},\r\n\t\t\t\t]});\r\n\t\t\t});\r\n\t\t\r\n\t\t\twindow.WebFontConfig = {\r\n\t\t\t\tcustom: {\r\n\t\t\t\t  families: [\"KaTeX_AMS\", \"KaTeX_Caligraphic:n4,n7\", \"KaTeX_Fraktur:n4,n7\",\r\n\t\t\t\t\t\"KaTeX_Main:n4,n7,i4,i7\", \"KaTeX_Math:i4,i7\", \"KaTeX_Script\",\r\n\t\t\t\t\t\"KaTeX_SansSerif:n4,n7,i4\", \"KaTeX_Size1\", \"KaTeX_Size2\", \"KaTeX_Size3\",\r\n\t\t\t\t\t\"KaTeX_Size4\", \"KaTeX_Typewriter\"],\r\n\t\t\t\t},\r\n\t\t\t};\r\n\t\t\r\n\t\t\tdocument.addEventListener(\"DOMContentLoaded\", function() {\r\n\t\t\t\tvar coll = document.getElementsByClassName(\"collapsible\");\r\n\t\t\t\tvar i;\r\n\r\n\t\t\t\tfor (i = 0; i < coll.length; i++) {\r\n\t\t\t\t  coll[i].addEventListener(\"click\", function() {\r\n\t\t\t\t\t\tthis.classList.toggle(\"active\");\r\n\t\t\t\t\t\tvar content = this.nextElementSibling;\r\n\t\t\t\t\t\tif (content.style.display === \"block\") {\r\n\t\t\t\t\t\t  content.style.display = \"none\";\r\n\t\t\t\t\t\t} else {\r\n\t\t\t\t\t\t  content.style.display = \"block\";\r\n\t\t\t\t\t\t}\r\n\t\t\t\t  });\r\n\t\t\t\t}\r\n\t\t\t});\r\n\t\t\r\n\t\t<\/script>\n<p>Bei den Wurf- und Fallaufgaben wird das Verhalten eines Objekts unter dem Einfluss der Erdanziehung f\u00fcr bestimmte Anfangsgeschwindigkeiten untersucht.<\/p>\n<ol>\n<li>Die Erde zieht alle K\u00f6rper mit einer Masse m mit der Gewichtskraft $$\\boxed{F = m \\cdot g}$$ an. Dabei zeigt die Gewichtskraft zum Erdmittelpunkt, also nach unten.<\/li>\n<li>Wenn ein Objekt fallen gelassen wird, ist seine Anfangsgeschwindigkeit gleich Null. Wir sprechen dann von einem freien Fall. Hierbei wirkt nur die Erdanziehung in Form der Gewichtskraft.<\/li>\n<li>Wenn ein Objekt geworfen wird, ist seine Anfangsgeschwindigkeit ungleich Null. Wir sprechen dann von einem Wurf. Erfolgt der Wurf senkrecht nach oben, dann sprechen wir von einem vertikalen Wurf nach oben. Wird das Objekt horizontal, d. h. parallel zur Erdoberfl\u00e4che geworfen, so sprechen wir von einem horizontalen Wurf. Erfolgt der Wurf schief, so sprechen wir von einem schiefen Wurf.<\/li>\n<\/ol>\n<h3>Der Schiefe Wurf<\/h3>\n<ol>\n<li>Der schiefe Wurf ist die Kombination aus senkrechtem Wurf nach oben und waagerechtem Wurf. Der Trick besteht hierbei darin den Vektor der Anfangsgeschwindigkeit in vertikaler ($v_{0,y}$) und horizontaler ($v_{0,x}$) Richtung zu zerlegen. Danach werden die Richtungen unabh\u00e4ngig voneinander ber\u00fccksichtigt.<\/li>\n<li>Beim schiefen Wurf, ist die Anfangsgeschwindigkeit in horizontaler und vertikaler Richtung ungleich Null, d. h. $$\\vec v_0 = \\begin{pmatrix} v_{0,x} \\\\ v_{0,y} \\end{pmatrix}$$<\/li>\n<li>F\u00fcr die Geschwindigkeit in Abh\u00e4ngigkeit von der Zeit gilt: $$\\vec v(t) = \\begin{pmatrix} v_{0,x} \\\\ -gt + v_{0,y} \\end{pmatrix}$$<\/li>\n<li>F\u00fcr die Position in Abh\u00e4ngigkeit von der Zeit gilt: $$\\vec r(t) = \\begin{pmatrix} v_{0,x} t + x_0 \\\\ &#8211; \\frac 1 2 gt^2 + v_{0,y} t + y_0 \\end{pmatrix}$$ Wobei $y_0$ die Starth\u00f6he des Falls darstellt. Um die Betrachtung zu vereinfachen, w\u00e4hlen wir unser Bezugssystem so, dass gilt: $x_0 = 0$ und $y_0 = 0$. F\u00fcr die Position in Abh\u00e4ngigkeit von der Zeit gilt dann: $$\\vec r(t) = \\begin{pmatrix} v_{0,x} t \\\\ &#8211; \\frac 1 2 gt^2 + v_{0,y} t \\end{pmatrix}$$<\/li>\n<li>Wie k\u00f6nnen wir aber die Anfangsgeschwindigkeit bestimmen, wenn nur die Gesamtgeschwindigkeit $v_{ges}$ und den Wurfwinkel $\\alpha$ gegeben sind. Hierbei helfen uns der Sinus und der Kosinus $$\\vec v_0 = \\begin{pmatrix} v_{0,x} \\\\ v_{0,y} \\end{pmatrix} = v_{ges} \\cdot \\begin{pmatrix} cos (\\alpha) \\\\ sin (\\alpha) \\end{pmatrix}$$ $$\\vec v_0 = \\begin{pmatrix} v_{ges} \\cdot cos (\\alpha) \\\\ v_{ges} \\cdot sin (\\alpha) \\end{pmatrix}$$<\/li>\n<\/ol>\n<h3>Weitere Aufgaben zu Wurfaufgaben<\/h3>\n<h4>Wann wird die maximale H\u00f6he erreicht?<\/h4>\n<p>Am h\u00f6chsten Punkt der Wurfbahn ist die Vertikale Geschwindigkeit gleich Null, d. h. $v_y(t_{HP})=0$. Hieraus kann nun die Zeit $t_{HP}$ berechnet werden, die ein Objekt ben\u00f6tigt, um den h\u00f6chsten Punkt zu erreichen.<br \/>F\u00fcr die y-Koordinate (vertikale) der Geschwindigkeit gilt allgemein $$v_y (t) = -g t + v_{0,y}$$ F\u00fcr den h\u00f6chsten Punkt schreiben wir also $$v_y(t_{HP})=0$$ $$-g t_{HP} + v_{0,y} = 0$$ $$ t_{HP} = \\frac{v_{0,y}}{g}$$ Da $v_{0,y} =v_0 sin (\\alpha)$ erhalten wir $$ t_{HP} = \\frac{v_0 sin (\\alpha)}{g}$$<\/p>\n<h4>Welche maximale H\u00f6he erreicht ein Objekt nach dem Wurf?<\/h4>\n<p>Am h\u00f6chsten Punkt der Wurfbahn ist die Vertikale Geschwindigkeit gleich Null, d. h. $v_y(t_{HP})=0$. Hieraus kann nun die Zeit $t_{HP}$ berechnet werden, die ein Objekt ben\u00f6tigt, um den h\u00f6chsten Punkt zu erreichen. Die maximale H\u00f6he ist dann die y-Koordinate des h\u00f6chsten Punktes, also $$y (t_{HP}) = &#8211; \\frac 1 2 g t_{HP}^2 + v_{0,y} t_{HP}$$<\/p>\n<h4>Wann erreicht das Objekt den Boden (auch Flugzeit genannt)?<\/h4>\n<p>So, wie wir unser Bezugssystem gew\u00e4hlt haben, hat das Objekt am Boden die H\u00f6he $y (t_F)=0$, wobei $t_F$ die gesuchte Flugzeit oder Aufprallzeit darstellt. F\u00fcr die H\u00f6he (d.h. die vertikale Komponente des Positionsvektors) gilt $$- \\frac 1 2 gt_{F}^2 + v_{0,y} t_F = 0$$<\/p>\n<p>Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit $-\\frac 2 g$ und erhalten $$t_{F}^2 -\\frac {2 v_{0,y}}{g} t_F = 0$$ Dies ist eine quadratische Gleichung der Form $t^2+pt+q^2 =0$ mit $p=-\\frac {2 v_{0,y}}{g}$ und $q=0$, die wir mit der p-q-Formel l\u00f6sen k\u00f6nnen $$t_F = \\frac {v_{0,y}}{g} \\pm \\sqrt{(\\frac {v_{0,y}}{g})^2 }$$ F\u00fcr den schiefen Wurf ist die Flugzeit $$t_F = \\frac {v_{0,y}}{g} \\pm \\sqrt{(\\frac {v_{0,y}}{g})^2 }$$ $$t_F = \\frac {v_{0,y}}{g} \\pm \\frac {v_{0,y}}{g}$$ $$t_F = 0 \\text {, } t_F = \\frac {2 v_{0,y}}{g}$$<\/p>\n<p>Die $t_F = 0$ gilt f\u00fcr den wurfbeginn, da zu Beginn des Wurfs das Objekt noch nicht geworfen und deshalb die Hohe Null hat. Am Ende des Wurfs zum Zeitpunkt $t_F = \\frac {2 v_{0,y}}{g}$ erreicht das Objekt nat\u00fcrlich auch den Boden. Beim schiefen Wurf k\u00f6nnen wir f\u00fcr die Anfangsgeschwindigkeit schreiben $v_{0,y} =v_0 sin (\\alpha)$, wobei $\\alpha$ der Wurfwinkel darstellt. Einsetzen ergibt: $$t_F = \\frac {2 v_0 sin (\\alpha)}{g}$$<\/p>\n<h4>Mit welcher Geschwindigkeit erreicht das Objekt den Boden (Aufprallgeschwindigkeit)?<\/h4>\n<p>F\u00fcr die Geschwindigkeit in Abh\u00e4ngigkeit von der Zeit gilt: $$\\vec v(t) = \\begin{pmatrix} v_{0,x} \\\\ -gt + v_{0,y} \\end{pmatrix}$$ Beim Aufprall gilt $t=t_F$, die wir oben berechnet haben. Der Geschwindigkeitsvektor beim Aufprall lautet also $$\\vec v(t_F) = \\begin{pmatrix} v_{0,x} \\\\ -gt_F + v_{0,y} \\end{pmatrix}$$<\/p>\n<p>F\u00fcr die Gr\u00f6\u00dfe der Geschwindigkeit, d.h. den Betrag des Geschwindigkeitvektors gilt $$v =\\sqrt{(v_{0,x})^2 +(-gt_F + v_{0,y})^2}$$ Wobei $v_{0,x} =v_0 cos (\\alpha)$, $v_{0,y} =v_0 sin (\\alpha)$ und $t_F = \\frac {2 v_0 sin (\\alpha)}{g}$<\/p>\n<h4>Wie weit fliegt das Objekt, bis es den Boden erreicht?<\/h4>\n<p>Um diese Frage zu beantworten, ben\u00f6tigen wir die Flugzeit $t_F$, die wir weiter oben berechnet haben. Die horizontale Strecke, die das Objekt zur\u00fccklegt ist gegeben durch $$x(t) = v_{0,x} t$$ mit $v_{0,x} =v_0 cos (\\alpha)$.<\/p>\n<p>Die Wurfweite $x_F$, d.h. die Strecke, die das Objekt bis zum Aufprall zur\u00fccklegt, ist gegeben durch $$x_F=x(t_F) = v_{0,x} t_F$$ $$x(t_F) = v_0 cos (\\alpha) ( \\frac {2 v_0 sin (\\alpha)}{g})$$ $$x(t_F) = \\frac {2 v^2_0 cos (\\alpha) sin (\\alpha)}{g}$$ Streber der Nation wissen, dass $$sin(\\alpha+\\beta) = sin(\\alpha)cos(\\beta) +cos(\\alpha)sin(\\beta)$$ Wir setzen $\\alpha=\\beta$ und erhalten $$sin(\\alpha+\\alpha) = sin(\\alpha)cos(\\alpha)+cos(\\alpha)sin(\\alpha)$$ $$s(2 \\alpha) = 2 sin(\\alpha)cos(\\alpha)$$ $$sin(\\alpha)cos(\\alpha) = \\frac{sin(2 \\alpha)}{2}$$ Einsetzen in $x_F$ liefert $$x(t_F) = \\frac {v^2_0 sin (2 \\alpha)}{g}$$<\/p>\n<h4>Bei welchem Wurfwinkel kommt das Objekt am weitesten?<\/h4>\n<p>F\u00fcr die Wurfweite haben wir berechnet $$x(\\alpha) = \\frac {v^2_0 sin (2 \\alpha)}{g}$$ Wie man leicht erkennen kann h\u00e4ngt die Wurfweite von dem Wurfwinkel $\\alpha$ ab. Die Begriffe am weitesten, am h\u00f6chsten, am gr\u00f6\u00dften, am niedrigsten, am l\u00e4ngsten sind Wordings, die mathematisch sogenannten Extremwertaufgaben beschreiben. Bei einer Extremwertaufgabe wird das Maximum bzw. das Minimum einer Funktion berechnet. Die Mathematik lehrt uns, dass eine Funktion $f(x)$ den maximalen oder den minimalen Wert annimmt, wenn ihre Ableitung gleich Null ist, d.h. $f'(x)=0$. Schauen wir also wann $x'(\\alpha)=0$ gilt. Die Ableitung der Wurfweite lautet $$x'(\\alpha) = 2 \\frac {v^2_0 cos (2 \\alpha)}{g}$$<\/p>\n<p>Setzen wir die Ableitung gleich Null und erhalten $$2 \\frac {v^2_0 cos (2 \\alpha)}{g} = 0$$ $$ cos (2 \\alpha) = 0$$ $$2 \\alpha = 90 \\degree$$ $$\\alpha = 45 \\degree$$ Bei einem Winkel von $\\alpha=45 \\degree$ ist die Wurfweite am gr\u00f6\u00dften, d. h. das Objekt wird am weitesten geworfen.<\/p>\n<p>Hier kannst du ein wenig ableiten \u00fcbern \ud83d\ude01:\u00a0<a href=\"https:\/\/nurlernen.de\/mathe\/mathematik-lernkontrolle\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Kostenlose Mathe \u00dcbungen<\/a><\/p>\n<p>Ich empfehle dir diese Formel gar nicht auswendig zu lernen. Was du brauchst ist nur $y (t_F)=0$ f\u00fcr die Flugzeit und nat\u00fcrlich $y(t) = &#8211; \\frac 1 2 gt^2 + v_{0,y} t $. Damit kannst du dir die Flugzeiten f\u00fcr alle m\u00f6glichen Szenarien ausrechnen. Das musst du nur ein Paar mal selbst \u00fcben und dann klappt es auch. Mach dir nicht das Leben so schwer indem du alle Formeln auswendig lernst. Lerne von den Physikern und beschr\u00e4nke dich nur auf die wichtigen Formeln, die meistens mit einem Kasten umrandet sind. Physiker sind alles faule Leute (ich \u00fcbrigens auch). Sie wollen die ganze Welt mit nur einer einzigen Formel beschreiben! Alles andere wird hergeleitet, wenn und wie man es ben\u00f6tigt.<\/p>\n\n\n<p><button onclick=\"location.href='https:\/\/nurlernen.de\/physik\/physik-inhalte\/'\">Lernbereich<\/button>\r\n<!--button onclick=\"location.href='https:\/\/nurlernen.de\/physik\/physik-lernkontrolle\/'\">Lernkontrolle<\/button-->\r\n<!--button onclick=\"location.href='\/physik-fragenkatalog'\"&gt;Fragenkatalog (F\u00fcr Lehrer)&lt;\/button-->\r\n<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Der schiefe Wurf ist die Kombination aus senkrechtem Wurf nach oben und waagerechtem Wurf.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-337","page","type-page","status-publish"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v27.5 - https:\/\/yoast.com\/product\/yoast-seo-wordpress\/ -->\n<title>Der schiefe Wurf verst\u00e4ndlich mit Beispielen erkl\u00e4rt<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Der schiefe Wurf ist die Kombination aus senkrechtem Wurf nach oben und waagerechtem Wurf. 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