{"id":370,"date":"2020-04-01T12:23:17","date_gmt":"2020-04-01T10:23:17","guid":{"rendered":"http:\/\/www.niemma.de\/shop\/?p=370"},"modified":"2025-08-07T13:31:03","modified_gmt":"2025-08-07T11:31:03","slug":"wie-multipliziert-man-vektoren","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/nurlernen.de\/physik\/wie-multipliziert-man-vektoren\/","title":{"rendered":"Wie multipliziert man Vektoren?"},"content":{"rendered":"\n\r\n\t\t<style>\r\n\t\t\t.collapsible {\r\n\t\t\t\tcolor: #303f9f;\t\r\n\t\t\t\tcursor: pointer; \r\n\t\t\t}\r\n\t\t\t.collapsible:hover {\r\n\t\t\t  text-decoration: underline;\r\n\t\t\t}\r\n\r\n\t\t\t.hidden_content {\r\n\t\t\t\tdisplay: none;\r\n\t\t\t\tbackground-color: #eeeeee\t\t  \r\n\t\t\t}\r\n\t\t<\/style>\r\n\t\t\r\n\t\t<script>\r\n\t\t\tdocument.addEventListener(\"DOMContentLoaded\", function() {\r\n\t\t\t\trenderMathInElement(document.body,\t\r\n\t\t\t\t{delimiters: [{left: \"$$\", right: \"$$\", display: true},\r\n\t\t\t\t{left: \"$\", right: \"$\", display: false},\r\n\t\t\t\t]});\r\n\t\t\t});\r\n\t\t\r\n\t\t\twindow.WebFontConfig = {\r\n\t\t\t\tcustom: {\r\n\t\t\t\t  families: [\"KaTeX_AMS\", \"KaTeX_Caligraphic:n4,n7\", \"KaTeX_Fraktur:n4,n7\",\r\n\t\t\t\t\t\"KaTeX_Main:n4,n7,i4,i7\", \"KaTeX_Math:i4,i7\", \"KaTeX_Script\",\r\n\t\t\t\t\t\"KaTeX_SansSerif:n4,n7,i4\", \"KaTeX_Size1\", \"KaTeX_Size2\", \"KaTeX_Size3\",\r\n\t\t\t\t\t\"KaTeX_Size4\", \"KaTeX_Typewriter\"],\r\n\t\t\t\t},\r\n\t\t\t};\r\n\t\t\r\n\t\t\tdocument.addEventListener(\"DOMContentLoaded\", function() {\r\n\t\t\t\tvar coll = document.getElementsByClassName(\"collapsible\");\r\n\t\t\t\tvar i;\r\n\r\n\t\t\t\tfor (i = 0; i < coll.length; i++) {\r\n\t\t\t\t  coll[i].addEventListener(\"click\", function() {\r\n\t\t\t\t\t\tthis.classList.toggle(\"active\");\r\n\t\t\t\t\t\tvar content = this.nextElementSibling;\r\n\t\t\t\t\t\tif (content.style.display === \"block\") {\r\n\t\t\t\t\t\t  content.style.display = \"none\";\r\n\t\t\t\t\t\t} else {\r\n\t\t\t\t\t\t  content.style.display = \"block\";\r\n\t\t\t\t\t\t}\r\n\t\t\t\t  });\r\n\t\t\t\t}\r\n\t\t\t});\r\n\t\t\r\n\t\t<\/script>\n\n\n<div id=\"results\" class=\"container\">\n<ol>\n<li style=\"list-style-type: none;\">\n<ol>\n<li>In Kapitel 2 haben wir gelernt, dass viele physikalische Gr\u00f6\u00dfen Vektoren sind. Ein Vektor ist eine Gr\u00f6\u00dfe, die eine Richtung und eine L\u00e4nge hat.<\/li>\n<li>Die L\u00e4nge eines Vektors $\\vec{v}$ wird auch als sein Betrag bezeichnet und mit $\\lvert \\vec{v} \\rvert$ oder $\\lVert \\vec{v} \\rVert$ dargestellt. F\u00fcr den Vektor $\\vec{v} = \\begin{pmatrix} x \\\\ y \\\\ z \\end{pmatrix}$ ist der Betrag (die L\u00e4nge) $\\lvert \\vec{v} \\rvert = \\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.<\/li>\n<li>Ein Vektor mit der L\u00e4nge 1 wird als einen Einheitsvektor bezeichnet.<\/li>\n<li>Betrachten wir den Vektor $\\vec{a} = \\begin{pmatrix} a_x \\\\ a_y \\\\ a_z \\end{pmatrix}$ und den Vektor $\\vec{b} = \\begin{pmatrix} b_x \\\\ b_y \\\\ b_z \\end{pmatrix}$. Wir multiplizieren diese Vektoren, indem wir die x-Koordinaten miteinander, die y-Koordinaten miteinander, die z-Koordinaten miteinander multiplizieren und anschlie\u00dfend die Summe bilden, d.h. alles aufaddieren. Mathematisch schreiben wir das so $$\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = \\begin{pmatrix} a_x \\\\ a_y \\\\ a_z \\end{pmatrix} \\cdot \\begin{pmatrix} b_x \\\\ b_y \\\\ b_z \\end{pmatrix}$$ $$\\boxed{\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = a_x \\cdot b_x + a_y \\cdot b_y + a_z \\cdot b_z}$$ Dieses Produkt zweier Vektoren, das eine einzige Zahl liefert, bezeichnen wir als das <u>Skalarprodukt<\/u>.<\/li>\n<li>Ein Beispiel: Das Skalarprodukt der Vektoren $\\vec{a} = \\begin{pmatrix} 2 \\\\ -1 \\\\ 4 \\end{pmatrix}$ und $\\vec{b} = \\begin{pmatrix} 5 \\\\ 3 \\\\ -1 \\end{pmatrix}$ betr\u00e4gt $$\\begin{aligned} \\vec{a} \\cdot \\vec{b} &amp;= 2 \\cdot 5 -1 \\cdot 3 + 4 \\cdot (-1) \\\\ &amp;= 10 -3 -4 \\\\ &amp;=3 \\end{aligned} $$<\/li>\n<li>Es gibt eine zweite M\u00f6glichkeit das Skalarprodukt zu bilden. <br \/>Betrachten wir zwei Vektoren $\\vec a$ und $\\vec b$ von denen wir die L\u00e4nge (d. h. den Betrag) kennen. Diese L\u00e4ngen bezeichnen wir mit $\\lvert \\vec{a} \\rvert$ und $\\lvert \\vec{b} \\rvert$. Nun brauchen wir nur noch den Winkel zwischen diesen Vektoren. Diesen bezeichnen wir mit $\\gamma$. Wenn wir die L\u00e4nge zweier Vektoren und den Winkel, den sie einschlie\u00dfen kennen, k\u00f6nnen wir folgenderma\u00dfen ihr Skalarprodukt berechnen $$\\boxed{\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = \\lvert \\vec{a} \\rvert \\cdot \\lvert \\vec{b} \\rvert \\cdot \\cos {\\gamma} }$$ Diese Definition des Skalarprodukts ist viel wichtiger und hilfreicher!<\/li>\n<li>Ein Beispiel: Vektor $\\vec{a}$ hat die L\u00e4nge $\\lvert \\vec a \\rvert = 5 $ und Vektor $\\vec{b}$ die L\u00e4nge $\\lvert \\vec b \\rvert = 2 $. Der Winkel zwischen $\\vec a$ und $\\vec b$ betr\u00e4gt $\\gamma = 60 \\degree$. Ihr Skalarprodukt lautet $$\\begin{aligned} \\vec{a} \\cdot \\vec{b} &amp;= 5 \\cdot 2 \\cdot \\cos {60 \\degree} \\\\ &amp;= 10 \\cdot 0,5 \\\\ &amp;= 5 \\end{aligned}$$<\/li>\n<\/ol>\n<\/li>\n<\/ol>\n<h3>Eigenschaften und Anwendungen<\/h3>\n<figure class=\"wp-block-image size-large\">\n<figure id=\"attachment_237\" aria-describedby=\"caption-attachment-237\" style=\"width: 340px\" class=\"wp-caption alignright\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-237\" title=\"Abbildung 1a: Die orthogonale Projektion (senkrechter Lot) des Vektors a auf den Vektor b Abbildung 1b: Das Ablesen von Koordinaten eines Vektors ist durch Bildung von Skalarprodukt mit den Einheitsvektoren der Koordinatenachsen m\u00f6glich.\" src=\"http:\/\/nurlernen.de\/physik\/wp-content\/uploads\/sites\/3\/2025\/07\/l_100306_a.png\" alt=\"Skalarprodukt\" width=\"350\" height=\"533\" align=\"right\" \/><figcaption id=\"caption-attachment-237\" class=\"wp-caption-text\">Abbildung 1a: Die orthogonale Projektion (senkrechter Lot) des Vektors a auf den Vektor b Abbildung 1b: Das Ablesen von Koordinaten eines Vektors ist durch Bildung von Skalarprodukt mit den Einheitsvektoren der Koordinatenachsen m\u00f6glich.<\/figcaption><\/figure><br \/>\n<\/figure>\n<ol>\n<li>Betrachten wir das Skalarprodukt zweier Vektoren $$\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = \\lvert \\vec{a} \\rvert \\cdot \\lvert \\vec{b} \\rvert \\cdot \\cos {\\gamma} $$ Wenn die Vektoren senkrecht aufeinander stehen ist nat\u00fcrlich $\\gamma = 90 \\degree$. Streber der Nation wissen, dass $cos (90 \\degree) = 0$. <br \/>Das Skalarprodukt von zwei Vektoren, die senkrecht aufeinander stehen ist Null, d. h. $\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = 0$.\n<p>Mathematiker verwenden anstatt &#8222;senkrecht&#8220; das Wort &#8222;orthogonal&#8220; und anstatt &#8222;Null&#8220; das Wort &#8222;Verschwinden&#8220;. Versuchen wir es nochmal als Mathematiker: <br \/>Das Skalarprodukt orthogonaler Vektoren verschwindet! (Yeah!).<\/li>\n<li>Betrachten wir das Skalarprodukt zweier Vektoren $$\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = \\lvert \\vec{a} \\rvert \\cdot \\lvert \\vec{b} \\rvert \\cdot \\cos {\\gamma} $$ Wenn die Vektoren parallel zu einander stehen ist nat\u00fcrlich $\\gamma = 0 \\degree$. Streber der Nation wissen, dass $cos (0 \\degree) = 1$. <br \/>Das Skalarprodukt von zwei parallelen Vektoren ist gleich dem Produkt ihrer L\u00e4ngen, d. h. $\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = \\lvert \\vec{a} \\rvert \\cdot \\lvert \\vec{b} \\rvert $\n<p>Ein besondere Fall ist, wenn wir einen Vektor mit sich selbst multiplizieren. Ein Vektor ist immer zu sich selbst parallel, d. h. $\\vec{a} \\cdot \\vec{a} = (\\lvert \\vec{a} \\rvert)^2$<\/li>\n<li>Und nun zur besten Eigenschaft des Skalarprodukts: &#8222;Die orthogonale Projektion&#8220; (auf Deutsch: der senkrechte Lot)<br \/>Betrachten wir die <i>Abbildung 1a<\/i>: Durch einen senkrechten Lot kann der Vektor $\\vec a$ auf den Vektor $\\vec b$ projiziert werden. Das Skalarprodukt $\\vec a \\cdot \\vec b$ stellt dann die Projektionsl\u00e4nge von $\\vec a$ auf $\\vec b$ dar.<\/li>\n<li>Jedes Mal, wenn wir die Koordinaten eines Vektors ablesen, bilden wir senkrechte Lote zu den Koordinatenachsen. Mathematisch bilden wir also Skalarprodukte (<i>Abbildung 1b<\/i>).<\/li>\n<li>Das zweidimensionale Koordinatensystem, dass wir in der Schule verwenden, ist zwischen der x-Achse mit dem Vektor $\\vec{e_x} = \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 0 \\end{pmatrix}$ und der y-Achse mit dem Vektor $\\vec{e_y} = \\begin{pmatrix} 0 \\\\ 1 \\end{pmatrix}$ aufgespannt.<br \/>Beispiel: Welche Koordinaten hat der Vektor $\\vec a = \\begin{pmatrix} 5 \\\\ -2 \\end{pmatrix}$? <br \/>Nat\u00fcrlich 5 und -2. Aber wie kommen wir dazu?<br \/>Indem wir Skalarprodukte bilden: <br \/>x-Koordinate $$a_x= \\vec a \\cdot \\vec {e_x} = \\begin{pmatrix} 5 \\\\ -2 \\end{pmatrix} \\cdot \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 0 \\end{pmatrix} =5 +0 = 5$$ y-Koordinate $$a_x= \\vec a \\cdot \\vec {e_y} = \\begin{pmatrix} 5 \\\\ -2 \\end{pmatrix} \\cdot \\begin{pmatrix} 0 \\\\ 1 \\end{pmatrix} =0 -2 = -2$$ Hinweis f\u00fcr die Streber der Nation: Ein Koordinatensystem, welches zwischen den Vektoren $\\vec{e_x} = \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 0 \\end{pmatrix}$ und $\\vec{e_y} = \\begin{pmatrix} 0 \\\\ 1 \\end{pmatrix}$ aufgespannt wird, bezeichnet man als ein <i>Kartesisches<\/i> Koordinatensystem.\n<p><!--Beispiel: Welche Koordinaten hat der Vektor $\\vec a = \\begin{pmatrix} 6 \\\\ -2 \\end{pmatrix}$ in einem Koordinatensystem, das von Vektoren $\\begin{pmatrix} 0,5 \\\\ 0,5 \\end{pmatrix}$ und $\\begin{pmatrix} 0,5 \\\\ -0,5 \\end{pmatrix}$ aufgespannt wird? <br \/>Die Koordinaten 6 und -2 sind die Koordinaten des Vektors in dem uns bekannten kartesischen Koordinatensystem. Das angegeben Koordinatensystem ist aber um 45\u00b0 verdreht. In diesem verdrehten Koordinatensystem hat der Vektor die Koordinaten: <br \/>1. Koordinate $$a_1= \\vec a \\cdot \\vec {e_1} = \\begin{pmatrix} 6 \\\\ -2 \\end{pmatrix} \\cdot \\begin{pmatrix} 0,5 \\\\ 0,5 \\end{pmatrix} =3 -1 = 2$$ 2. Koordinate $$a_2= \\vec a \\cdot \\vec {e_2} = \\begin{pmatrix} 6 \\\\ -2 \\end{pmatrix} \\cdot \\begin{pmatrix} 0,5 \\\\ -0,5 \\end{pmatrix} = 3 +1 = 4$$ In diesem verdrehten Koordinatensystem hat der Vektor die Koordinaten: $\\begin{pmatrix} 2 \\\\ 4 \\end{pmatrix}$<br \/>Easy oder?--><\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n\n\n<p><button onclick=\"location.href='https:\/\/nurlernen.de\/physik\/physik-inhalte\/'\">Lernbereich<\/button>\r\n<!--button onclick=\"location.href='https:\/\/nurlernen.de\/physik\/physik-lernkontrolle\/'\">Lernkontrolle<\/button-->\r\n<!--button onclick=\"location.href='\/physik-fragenkatalog'\"&gt;Fragenkatalog (F\u00fcr Lehrer)&lt;\/button-->\r\n<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Viele physikalische Gr\u00f6\u00dfen Vektoren sind. 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