{"id":373,"date":"2020-04-01T12:26:36","date_gmt":"2020-04-01T10:26:36","guid":{"rendered":"http:\/\/www.niemma.de\/shop\/?p=373"},"modified":"2025-08-07T13:31:21","modified_gmt":"2025-08-07T11:31:21","slug":"vektorielle-betrachtung-von-arbeit-und-impuls","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/nurlernen.de\/physik\/vektorielle-betrachtung-von-arbeit-und-impuls\/","title":{"rendered":"Vektorielle Betrachtung von Arbeit, Energie und Impuls"},"content":{"rendered":"<div id=\"results\" class=\"container\">\n\r\n\t\t<style>\r\n\t\t\t.collapsible {\r\n\t\t\t\tcolor: #303f9f;\t\r\n\t\t\t\tcursor: pointer; \r\n\t\t\t}\r\n\t\t\t.collapsible:hover {\r\n\t\t\t  text-decoration: underline;\r\n\t\t\t}\r\n\r\n\t\t\t.hidden_content {\r\n\t\t\t\tdisplay: none;\r\n\t\t\t\tbackground-color: #eeeeee\t\t  \r\n\t\t\t}\r\n\t\t<\/style>\r\n\t\t\r\n\t\t<script>\r\n\t\t\tdocument.addEventListener(\"DOMContentLoaded\", function() {\r\n\t\t\t\trenderMathInElement(document.body,\t\r\n\t\t\t\t{delimiters: [{left: \"$$\", right: \"$$\", display: true},\r\n\t\t\t\t{left: \"$\", right: \"$\", display: false},\r\n\t\t\t\t]});\r\n\t\t\t});\r\n\t\t\r\n\t\t\twindow.WebFontConfig = {\r\n\t\t\t\tcustom: {\r\n\t\t\t\t  families: [\"KaTeX_AMS\", \"KaTeX_Caligraphic:n4,n7\", \"KaTeX_Fraktur:n4,n7\",\r\n\t\t\t\t\t\"KaTeX_Main:n4,n7,i4,i7\", \"KaTeX_Math:i4,i7\", \"KaTeX_Script\",\r\n\t\t\t\t\t\"KaTeX_SansSerif:n4,n7,i4\", \"KaTeX_Size1\", \"KaTeX_Size2\", \"KaTeX_Size3\",\r\n\t\t\t\t\t\"KaTeX_Size4\", \"KaTeX_Typewriter\"],\r\n\t\t\t\t},\r\n\t\t\t};\r\n\t\t\r\n\t\t\tdocument.addEventListener(\"DOMContentLoaded\", function() {\r\n\t\t\t\tvar coll = document.getElementsByClassName(\"collapsible\");\r\n\t\t\t\tvar i;\r\n\r\n\t\t\t\tfor (i = 0; i < coll.length; i++) {\r\n\t\t\t\t  coll[i].addEventListener(\"click\", function() {\r\n\t\t\t\t\t\tthis.classList.toggle(\"active\");\r\n\t\t\t\t\t\tvar content = this.nextElementSibling;\r\n\t\t\t\t\t\tif (content.style.display === \"block\") {\r\n\t\t\t\t\t\t  content.style.display = \"none\";\r\n\t\t\t\t\t\t} else {\r\n\t\t\t\t\t\t  content.style.display = \"block\";\r\n\t\t\t\t\t\t}\r\n\t\t\t\t  });\r\n\t\t\t\t}\r\n\t\t\t});\r\n\t\t\r\n\t\t<\/script>\n<h3>Vektorielle Betrachtung von Impuls<\/h3>\n<ol>\n<li>Viele physikalische Gr\u00f6\u00dfen sind Vektoren. Ein Vektor ist eine Gr\u00f6\u00dfe, die eine Richtung und eine L\u00e4nge hat (wie ein Pfeil mit einer Richtung und einer L\u00e4nge).<\/li>\n<li>In Kapitel 2 haben wir gelernt, dass Kr\u00e4fte Vektoren sind, da diese sowohl einen Betrag (L\u00e4nge) als auch eine Richtung vorweisen.<\/li>\n<li>Nun betrachten wir den Impuls $$p= F \\cdot t$$Die Kraft $F$ ist ein Vektor, d. h. $$\\vec{F} = \\begin{pmatrix} F_x \\\\ F_y \\\\ F_z \\end{pmatrix}$$Die Zeit t hingegen ist eine Zahl (Mathematiker bezeichnen Zahlen als skalare Gr\u00f6\u00dfen)<br \/>\nWir bilden den Impuls, indem wir die Koordinaten des Kraftvektors mit der Zeit t multiplizieren, d.h. $$\\vec{p} = \\begin{pmatrix} F_x \\cdot t \\\\ F_y \\cdot t \\\\ F_z \\cdot t \\end{pmatrix}$$Wie man leicht erkennen kann, ist auch der Impuls ein Vektor!<\/li>\n<li>Wenn eine vektorielle Gr\u00f6\u00dfe mit einer Zahl multipliziert wird, dann erhalten wir wieder einen Vektor!<\/li>\n<\/ol>\n<h3>Vektorielle Betrachtung von Arbeit<\/h3>\n<figure class=\"wp-block-image size-large\">\n<p><figure id=\"attachment_238\" aria-describedby=\"caption-attachment-238\" style=\"width: 340px\" class=\"wp-caption alignright\"><img decoding=\"async\" class=\"wp-image-238\" title=\"Abbildung 1: Zwei Beispiele bei denen die wirkende Kraft F (blau) und die Bewegung s (gr\u00fcn) nicht gleichgerichtet sind. a) Ein Waggon auf Schienen wird mit Kraft F (blau) schr\u00e4g zur Schienenrichtung gezogen. Die Bewegung erfolgt entlang der Schiene. b) Die Bewegung eines Objekts auf einer schiefen Ebene erfolgt in Richtung der Schr\u00e4ge s und nicht in Richtung der einwirkenden Gewichtskraft F (blau). In beiden F\u00e4llen muss die Kraft F in seine Bestandteile zerlegt werden, um die Kraft $F_{||}$ (rot) parallel zur Bewegungsrichtung zu bestimmen. F\u00fcr die verrichtete Arbeit gilt in beiden F\u00e4llen $W = \\vec F \\cdot \\vec s = F_{||} \\cdot s$\" src=\"http:\/\/nurlernen.de\/physik\/wp-content\/uploads\/sites\/3\/2025\/07\/l_100307_a.png\" alt=\"Skalarprodukt\" width=\"350\"\/><figcaption id=\"caption-attachment-238\" class=\"wp-caption-text\">Abbildung 1: Zwei Beispiele bei denen die wirkende Kraft F (blau) und die Bewegung s (gr\u00fcn) nicht gleichgerichtet sind. a) Ein Waggon auf Schienen wird mit Kraft F (blau) schr\u00e4g zur Schienenrichtung gezogen. Die Bewegung erfolgt entlang der Schiene. b) Die Bewegung eines Objekts auf einer schiefen Ebene erfolgt in Richtung der Schr\u00e4ge s und nicht in Richtung der einwirkenden Gewichtskraft F (blau). In beiden F\u00e4llen muss die Kraft F in seine Bestandteile zerlegt werden, um die Kraft $F_{||}$ (rot) parallel zur Bewegungsrichtung zu bestimmen. F\u00fcr die verrichtete Arbeit gilt in beiden F\u00e4llen $W = \\vec F \\cdot \\vec s = F_{||} \\cdot s$<\/figcaption><\/figure><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<ol>\n<li>Wir haben gesehen, dass der Impuls eine vektorielle Gr\u00f6\u00dfe ist, weil die Kraft ein Vektor ist.<\/li>\n<li>Die Arbeit hingegen ist eine skalare Gr\u00f6\u00dfe d. h. eine Zahl und KEIN VEKTOR! Das Gleiche gilt auch f\u00fcr die Energie. Aber warum? Schlie\u00dflich ist Arbeit $$W = F \\cdot s$$ und F ist doch auch ein Vektor.<\/li>\n<li>Korrekt: F ist ein Vektor, aber s auch! Die Verschiebung s kann nach rechts, links, oben oder schr\u00e4g erfolgen. Die Verschiebung s ist also ebenfalls ein Vektor, da sie eine Richtung besitzt.<\/li>\n<li>Wir haben es bei der Arbeit und der Energie also mit dem Produkt von zwei Vektoren zutun (s. Abbildung 1). Daf\u00fcr haben wir in der letzten Lektion das Skalarprodukt kennen gelernt.<\/li>\n<li>Die Arbeit ist das Skalarprodukt der Kraft und der Strecke, d.h. $$W = \\vec F \\cdot \\vec s$$Und wenn $\\vec{F} = \\begin{pmatrix} F_x \\\\ F_y \\\\ F_z \\end{pmatrix}$ und $\\vec{s} = \\begin{pmatrix} x \\\\ y \\\\ z \\end{pmatrix}$, dann gilt $$W = \\begin{pmatrix} F_x \\\\ F_y \\\\ F_z \\end{pmatrix} \\cdot \\begin{pmatrix} x \\\\ y \\\\ z \\end{pmatrix} = F_x \\cdot x +F_y \\cdot y + F_z \\cdot z$$<\/li>\n<\/ol>\n<h3>Vektorielle Betrachtung von Leistung<\/h3>\n<ol>\n<li>Analog zur Arbeit ist auch die Leistung eine skalare Gr\u00f6\u00dfe d. h. eine Zahl und kein Vektor!<\/li>\n<li>Darauf kann man auf zwei Wege kommen:<br \/>\nWeg 1: $P= \\frac W t$ muss ein Skalar sein, da sowohl W als auch t skalare Gr\u00f6\u00dfen sind.<br \/>\nWeg 2: $P= \\vec F \\cdot \\vec v$ ist das Skalarprodukt der Kraft- und Geschwindigkeitsvektors und daher eine skalare Gr\u00f6\u00dfe (d.h. eine Zahl und kein Vektor).<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n\n\n<p><button onclick=\"location.href='https:\/\/nurlernen.de\/physik\/physik-inhalte\/'\">Lernbereich<\/button>\r\n<!--button onclick=\"location.href='https:\/\/nurlernen.de\/physik\/physik-lernkontrolle\/'\">Lernkontrolle<\/button-->\r\n<!--button onclick=\"location.href='\/physik-fragenkatalog'\"&gt;Fragenkatalog (F\u00fcr Lehrer)&lt;\/button-->\r\n<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Viele physikalische Gr\u00f6\u00dfen sind Vektoren. 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