{"id":417,"date":"2020-04-04T08:34:11","date_gmt":"2020-04-04T06:34:11","guid":{"rendered":"http:\/\/www.niemma.de\/shop\/?p=417"},"modified":"2025-08-07T13:32:58","modified_gmt":"2025-08-07T11:32:58","slug":"wie-kann-man-summen-vereinfachen","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/nurlernen.de\/physik\/wie-kann-man-summen-vereinfachen\/","title":{"rendered":"Wie kann man Summen vereinfachen?"},"content":{"rendered":"<div id=\"results\" class=\"container\">\n\r\n\t\t<style>\r\n\t\t\t.collapsible {\r\n\t\t\t\tcolor: #303f9f;\t\r\n\t\t\t\tcursor: pointer; \r\n\t\t\t}\r\n\t\t\t.collapsible:hover {\r\n\t\t\t  text-decoration: underline;\r\n\t\t\t}\r\n\r\n\t\t\t.hidden_content {\r\n\t\t\t\tdisplay: none;\r\n\t\t\t\tbackground-color: #eeeeee\t\t  \r\n\t\t\t}\r\n\t\t<\/style>\r\n\t\t\r\n\t\t<script>\r\n\t\t\tdocument.addEventListener(\"DOMContentLoaded\", function() {\r\n\t\t\t\trenderMathInElement(document.body,\t\r\n\t\t\t\t{delimiters: [{left: \"$$\", right: \"$$\", display: true},\r\n\t\t\t\t{left: \"$\", right: \"$\", display: false},\r\n\t\t\t\t]});\r\n\t\t\t});\r\n\t\t\r\n\t\t\twindow.WebFontConfig = {\r\n\t\t\t\tcustom: {\r\n\t\t\t\t  families: [\"KaTeX_AMS\", \"KaTeX_Caligraphic:n4,n7\", \"KaTeX_Fraktur:n4,n7\",\r\n\t\t\t\t\t\"KaTeX_Main:n4,n7,i4,i7\", \"KaTeX_Math:i4,i7\", \"KaTeX_Script\",\r\n\t\t\t\t\t\"KaTeX_SansSerif:n4,n7,i4\", \"KaTeX_Size1\", \"KaTeX_Size2\", \"KaTeX_Size3\",\r\n\t\t\t\t\t\"KaTeX_Size4\", \"KaTeX_Typewriter\"],\r\n\t\t\t\t},\r\n\t\t\t};\r\n\t\t\r\n\t\t\tdocument.addEventListener(\"DOMContentLoaded\", function() {\r\n\t\t\t\tvar coll = document.getElementsByClassName(\"collapsible\");\r\n\t\t\t\tvar i;\r\n\r\n\t\t\t\tfor (i = 0; i < coll.length; i++) {\r\n\t\t\t\t  coll[i].addEventListener(\"click\", function() {\r\n\t\t\t\t\t\tthis.classList.toggle(\"active\");\r\n\t\t\t\t\t\tvar content = this.nextElementSibling;\r\n\t\t\t\t\t\tif (content.style.display === \"block\") {\r\n\t\t\t\t\t\t  content.style.display = \"none\";\r\n\t\t\t\t\t\t} else {\r\n\t\t\t\t\t\t  content.style.display = \"block\";\r\n\t\t\t\t\t\t}\r\n\t\t\t\t  });\r\n\t\t\t\t}\r\n\t\t\t});\r\n\t\t\r\n\t\t<\/script>\n<ol>\n<li>Betrachten wir ein Glas Wasser mit Milliarden Wassermolek\u00fclen. Wie lautet die Gesamtenergie dieses Systems? Ganz einfach, die Gesamtenergie ist die Summe der Energien der einzelnen Wassermolek\u00fcle.<\/li>\n<li>Die kinetische Energie eines Wassermolek\u00fcls lautet $$E=\\frac 1 2 m v^2$$Wenn wir viele Molek\u00fcle haben, die sich mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten bewegen, m\u00fcssen wir diese voneinander unterscheiden. Hierf\u00fcr benutzen wir einen Index. Der Index (Mehrzahl Indizes) ist eine laufende Nummer.<\/li>\n<li>Beispiel: in einem Glas Wasser hat das erste Molek\u00fcl die kinetische Energie $E_1 = \\frac 1 2 m_1 v_1^2$ und das achte Molek\u00fcl die kinetische Energie $E_8 = \\frac 1 2 m_8 v_8^2$<br \/>\nHier sind die Zahlen 1 und 8 die Indizes.<\/li>\n<li>Welches Molek\u00fcl welchen Index (d.h. welche Nummer) tr\u00e4gt, ist uns \u00fcberlassen und i.d. R. f\u00fcr gro\u00dfe Systeme egal!<\/li>\n<li>Wenn wir von der kinetischen Energie eines beliebigen Wassermolek\u00fcls sprechen, ersetzen wir den Index durch eine Buchstabe z. B. i. Dann lautet die kinetische Energie eines beliebigen Wassermolek\u00fcls $$E_i = \\frac 1 2 m_i v_i^2$$<\/li>\n<li>Wie lautet aber nun die Gesamtenergie des Systems?<br \/>\nGanz einfach, wir addieren alle kinetische Energien, d.h. $$E_{ges} = E_1 +E_2 +E_3 +E_4 + &#8230; +E_N$$Wobei N das letzte Wassermolek\u00fcl ist.<br \/>\nEinsetzen liefert: $$E_{ges} = \\frac 1 2 m_1 v_1^2 + \\frac 1 2 m_2 v_2^2 + \\frac 1 2 m_3 v_3^2 + &#8230; + \\frac 1 2 m_N v_N^2 $$<\/li>\n<li>Schon beim Schreiben dieser Summe habe ich keine Lust mehr auf Mathe und Physik. Als Mathematiker und Physiker sind wir faule Socken und m\u00f6chten uns das Leben so einfach wie m\u00f6glich gestalten. Aus diesem Grund benutzen wir eine einfache Schreibweise f\u00fcr lange Summen, n\u00e4mlich $$\\boxed{\\sum_{i=1}^{i = 3} A_i = A_1 +A_2 +A_3}$$Die Summe aller $A_i$ von 1 bis 3 ist $A_1+A_2+A_3$.<\/li>\n<li>$\\Sigma$ ist der griechische Gro\u00dfbuchstabe Sigma.<\/li>\n<li>Beispiel: $$\\begin{aligned} \\sum_{i=1}^{i = 3} i^2 &amp;= 1^2 +2^2 +3^2 \\\\ &amp;= 1 + 4+ 9 = 15 \\end{aligned}$$<\/li>\n<li>Wie wir wissen, gilt: $$A_1 +A_2 +A_3 = A_3 +A_2 +A_1$$ deshalb k\u00f6nnen wir schreiben: $$\\sum_{i=1}^{i = 3} A_i = \\sum_{i=3}^{i = 1} A_i$$Die obere und untere Grenze einer Summe k\u00f6nnen vertauscht werden.<\/li>\n<li>Weiterhin wissen wir, dass: $$bA_1 +bA_2 +bA_3 = b(A_1 +A_2 +A_3)$$ Dies bedeutet, dass: $$\\sum_{i=1}^{i = 3} bA_i = b \\sum_{i=1}^{i = 3} A_i$$Ein Faktor kann aus der Summe ausgeklammert werden, wenn er in ALLEN Termen vorkommt.<\/li>\n<li>Eine Summe kann geteilt werden $$A_1 + A_2 +A_3 + A_4 = (A_1 + A_2) +(A_3 + A_4)$$ Es gilt also: $$\\sum_{i=1}^{i = 4} A_i = \\sum_{i=1}^{i = 2} A_i + \\sum_{i=3}^{i = 4} A_i$$<\/li>\n<li>F\u00fcr die Gesamte kinetische Energie eines Glas Wassers k\u00f6nnen wir also schreiben.$$E_{ges} = \\frac 1 2 m_1 v_1^2 + \\frac 1 2 m_2 v_2^2 + \\frac 1 2 m_3 v_3^2 + &#8230; + \\frac 1 2 m_N v_N^2 $$ $$E_{ges} = \\sum_{i=1}^{i = N} \\frac 1 2 m_i v_i^2 $$Und da alle Wassermolek\u00fcle die gleiche Masse haben, gilt $m_i = m$, d.h. $$E_{ges} = \\sum_{i=1}^{i = N} \\frac 1 2 m v_i^2 $$ $$E_{ges} = \\frac 1 2 m \\sum_{i=1}^{i = N} v_i^2 $$Und dies ist die elegante Darstellung einer Summe \u00fcber mehrere Milliarden Terme!<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n\n\n<p><button onclick=\"location.href='https:\/\/nurlernen.de\/physik\/physik-inhalte\/'\">Lernbereich<\/button>\r\n<!--button onclick=\"location.href='https:\/\/nurlernen.de\/physik\/physik-lernkontrolle\/'\">Lernkontrolle<\/button-->\r\n<!--button onclick=\"location.href='\/physik-fragenkatalog'\"&gt;Fragenkatalog (F\u00fcr Lehrer)&lt;\/button-->\r\n<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Betrachten wir ein Glas Wasser mit Milliarden Wassermolek\u00fclen. 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