{"id":446,"date":"2020-04-04T12:04:33","date_gmt":"2020-04-04T10:04:33","guid":{"rendered":"http:\/\/www.niemma.de\/shop\/?p=446"},"modified":"2025-08-07T13:35:02","modified_gmt":"2025-08-07T11:35:02","slug":"berechnung-von-geraden-elastischen-stoessen","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/nurlernen.de\/physik\/berechnung-von-geraden-elastischen-stoessen\/","title":{"rendered":"Berechnung von geraden elastischen St\u00f6\u00dfen (1)"},"content":{"rendered":"\n\r\n\t\t<style>\r\n\t\t\t.collapsible {\r\n\t\t\t\tcolor: #303f9f;\t\r\n\t\t\t\tcursor: pointer; \r\n\t\t\t}\r\n\t\t\t.collapsible:hover {\r\n\t\t\t  text-decoration: underline;\r\n\t\t\t}\r\n\r\n\t\t\t.hidden_content {\r\n\t\t\t\tdisplay: none;\r\n\t\t\t\tbackground-color: #eeeeee\t\t  \r\n\t\t\t}\r\n\t\t<\/style>\r\n\t\t\r\n\t\t<script>\r\n\t\t\tdocument.addEventListener(\"DOMContentLoaded\", function() {\r\n\t\t\t\trenderMathInElement(document.body,\t\r\n\t\t\t\t{delimiters: [{left: \"$$\", right: \"$$\", display: true},\r\n\t\t\t\t{left: \"$\", right: \"$\", display: false},\r\n\t\t\t\t]});\r\n\t\t\t});\r\n\t\t\r\n\t\t\twindow.WebFontConfig = {\r\n\t\t\t\tcustom: {\r\n\t\t\t\t  families: [\"KaTeX_AMS\", \"KaTeX_Caligraphic:n4,n7\", \"KaTeX_Fraktur:n4,n7\",\r\n\t\t\t\t\t\"KaTeX_Main:n4,n7,i4,i7\", \"KaTeX_Math:i4,i7\", \"KaTeX_Script\",\r\n\t\t\t\t\t\"KaTeX_SansSerif:n4,n7,i4\", \"KaTeX_Size1\", \"KaTeX_Size2\", \"KaTeX_Size3\",\r\n\t\t\t\t\t\"KaTeX_Size4\", \"KaTeX_Typewriter\"],\r\n\t\t\t\t},\r\n\t\t\t};\r\n\t\t\r\n\t\t\tdocument.addEventListener(\"DOMContentLoaded\", function() {\r\n\t\t\t\tvar coll = document.getElementsByClassName(\"collapsible\");\r\n\t\t\t\tvar i;\r\n\r\n\t\t\t\tfor (i = 0; i < coll.length; i++) {\r\n\t\t\t\t  coll[i].addEventListener(\"click\", function() {\r\n\t\t\t\t\t\tthis.classList.toggle(\"active\");\r\n\t\t\t\t\t\tvar content = this.nextElementSibling;\r\n\t\t\t\t\t\tif (content.style.display === \"block\") {\r\n\t\t\t\t\t\t  content.style.display = \"none\";\r\n\t\t\t\t\t\t} else {\r\n\t\t\t\t\t\t  content.style.display = \"block\";\r\n\t\t\t\t\t\t}\r\n\t\t\t\t  });\r\n\t\t\t\t}\r\n\t\t\t});\r\n\t\t\r\n\t\t<\/script>\n<div id=\"results\" class=\"container\">\n\n\t\t<ol>\t\t\n\t\t<li>Bei einem geraden Sto\u00df bewegen sich die Sto\u00dfpartner vor und nach dem Sto\u00df entlang einer Gerade. Wir ben\u00f6tigen also keine vektorielle Betrachtung der Gr\u00f6\u00dfen durchzuf\u00fchren.<\/li>\t\t\n\t\t<li>Bei einem elastischen Sto\u00df bleiben die kinetischen Energien der Sto\u00dfpartner vor und nach dem Sto\u00df erhalten.<\/li>\n\t\t<li>Nun m\u00f6chten wir das Verhalten der Sto\u00dfpartner nach dem Sto\u00df vorhersagen. Zuerst die Physik. Wir bezeichnen die Sto\u00dfpartner mit a und b, ihre Massen mit $m_a$ und $m_b$ und ihre Geschwindigkeiten vor dem Sto\u00df mit $v_a$ und $v_b$. Alle diese Angaben sind vorhanden. Die Geschwindigkeiten der Sto\u00dfpartner nach dem Sto\u00df sind unbekannt und wir nennen diese $u_a$ f\u00fcr den Sto\u00dfpartner a und $u_b$ f\u00fcr den  Sto\u00dfpartner b. <\/li>\n\t\t<li>Die Impulserhaltung besagt, dass der Gesamtimpuls vor dem Sto\u00df $p_{vorher}$ gleich dem Gesamtimpuls nach dem Sto\u00df $p_{nachher}$ ist, d. h. $$p_{vorher} = p_{nachher}$$\n\t\tDer Gesamtimpuls ist die Summe der Impulse der beiden Sto\u00dfpartner (a und b), also \n\t\t$$m_a v_a + m_b v_b = m_a u_a + m_b u_b$$<\/li>\n\t\t<li>Die Erhaltung der kinetischen Energien besagt, dass die kinetische Energie des Systems vor dem Sto\u00df $E^{kin}_{vorher}$ gleich der kinetischen Energie des Systems nach dem Sto\u00df $E^{kin}_{nachher}$ ist, d. h. $$E^{kin}_{vorher} = E^{kin}_{nachher}$$\n\t\tDie kinetische Energie des gesamten Systems ist die Summe der kinetischen Energien der beiden Sto\u00dfpartner (a und b), also \n\t\t$$\\frac 1 2 m_a v_a^2 + \\frac 12 m_b v_b^2 = \\frac 1 2 m_a u_a^2 + \\frac 1 2 m_b u_b^2$$\n\t\t<\/li>\n\t\t<li>An dieser Stelle ist vorerst die Physik vorbei. Wir ben\u00f6tigen nun Mathematik, um die zwei Gleichungen nach $u_a$ und $u_b$ aufzul\u00f6sen. Hier nochmal die Gleichungen:\n\t\t$$\\boxed{ \\begin{aligned} m_a v_a + m_b v_b &amp;= m_a u_a + m_b u_b \\\\\n\t\t\\frac 1 2 m_a v_a^2 + \\frac 12 m_b v_b^2 &amp;= \\frac 1 2 m_a u_a^2 + \\frac 1 2 m_b u_b^2\t\t\\end{aligned} }$$<\/li>\n\t\t\n\t\t<li class=\"collapsible\">Durch mathematische Operationen k\u00f6nnen wir nun $u_a$ und $u_b$ bestimmen. Klicke auf diesen Text, wenn du eine ausf\u00fchrliche Erl\u00e4uterung haben m\u00f6chtest.<\/li>\n\t\t\n\t\t<div class=\"hidden_content\">\n\t\t<li>Zuerst bringen wir alle Terme, die mit dem Sto\u00dfpartner a zutun hat auf die linke Seite und alle Terme, die den Sto\u00df b betreffen auf die rechte Seite. Hier nochmal die Gleichungen:\n\t\t$$\\begin{aligned} m_a v_a &#8211; m_a u_a  &amp;=  m_b u_b &#8211; m_b v_b \\\\\n\t\t\\frac 1 2 m_a v_a^2 &#8211; \\frac 1 2 m_a u_a^2  &amp;= \\frac 1 2 m_b u_b^2 &#8211; \\frac 12 m_b v_b^2\t\t\\end{aligned} $$<\/li>\n\t\t\n\t\t<li>Nun klammern wir in beiden Gleichungen die Massen aus. Hier nochmal die Gleichungen:\n\t\t$$\\begin{aligned} m_a (v_a &#8211; u_a)  &amp;=  m_b ( u_b &#8211; v_b) \\\\\n\t\t\\frac 1 2 m_a (v_a^2 &#8211;  u_a^2)  &amp;= \\frac 1 2 m_b (u_b^2 &#8211; v_b^2)\t\t\\end{aligned} $$<\/li>\n\t\t\n\t\t<li>In der zweiten Gleichung k\u00f6nnen wir $\\frac 1 2$ auf beiden Seiten wegk\u00fcrzen. Hier nochmal die Gleichungen:\n\t\t$$\\begin{aligned} m_a (v_a &#8211; u_a)  &amp;=  m_b ( u_b &#8211; v_b) \\\\\n\t\tm_a (v_a^2 &#8211;  u_a^2)  &amp;= m_b (u_b^2 &#8211; v_b^2)\t\t\\end{aligned} $$<\/li>\n\t\t\n\t\t<li>Jetzt dividieren wir die untere Gleichung durch die obere Gleichung und erhalten:\n\t\t$$\\frac {m_a (v_a^2 &#8211;  u_a^2)}{m_a (v_a &#8211; u_a)} = \\frac{m_b (u_b^2 &#8211; v_b^2)}{m_b ( u_b &#8211; v_b)} $$<\/li>\n\t\t\n\t\t<li>Wir k\u00fcrzen die Massen und erhalten:\n\t\t$$\\frac { (v_a^2 &#8211;  u_a^2)}{ (v_a &#8211; u_a)} = \\frac{ (u_b^2 &#8211; v_b^2)}{ ( u_b &#8211; v_b)} $$<\/li>\n\t\t\n\t\t<li>Auf beiden Seiten jeweils im Z\u00e4hler schreiben wir die 3. binomische Formel aus:\n\t\t$$v_a^2-u_a^2 = (v_a-u_a) (v_a+u_a)$$\n\t\tund erhalten:\n\t\t$$\\frac { (v_a &#8211;  u_a)(v_a +  u_a)}{ (v_a &#8211; u_a)} = \\frac{ (u_b &#8211; v_b)(u_b + v_b)}{  (u_b &#8211; v_b)} $$<\/li>\n\t\t\n\t\t<li>Herrlich! Nun k\u00f6nnen wir ganze Klammern aus den Z\u00e4hlern und Nennern k\u00fcrzen und erhalten:\n\t\t$$v_a +  u_a= u_b + v_b$$<\/li>\n\n\t\t<li>Umformung nach der unbekannten Geschwindigkeit $u_b$ ergibt: $$ u_b = v_a +  u_a &#8211; v_b $$ Wir k\u00f6nnen nat\u00fcrlich auch nach $u_a$ umformen!<\/li>\n\n\t\t<li>Wir setzen diese $u_b$ in die Impulsgleichung:  \n\t\t$$ m_a v_a + m_b v_b = m_a u_a + m_b u_b $$\n\t\tein und bekommen:\n\t\t$$\\begin{aligned} m_a v_a + m_b v_b &amp;= m_a u_a + m_b (v_a +  u_a &#8211; v_b) \\\\ m_a v_a + m_b v_b &amp;= m_a u_a + m_b v_a + m_b  u_a &#8211; m_b v_b \\end{aligned}$$\t\t\n\t\tSelbstverst\u00e4ndlich k\u00f6nnten wir auch $u_b$ in die Energiegleichung einsetzen, aber das w\u00fcrde alles wegen den quadratischen Termen verkomplizieren, und wir sind von Natur aus faul!<\/li>\t\n\n\t\t<li>Nun l\u00f6sen wir diese Gleichung nach $u_a$ auf:  \n\t\t$$\\begin{aligned} m_a u_a + m_b v_a + m_b  u_a &#8211; m_b v_b &amp;= m_a v_a + m_b v_b \\\\ m_a u_a  + m_b  u_a  &amp;= m_a v_a + m_b v_b &#8211; m_b v_a + m_b v_b \\\\ u_a (m_a + m_b)  &amp;= (m_a &#8211; m_b) v_a + 2m_b v_b   \\end{aligned}$$\t\t\n\t\t<\/li>\t\t\n\t\t\n\t\t<li>Eine \u00e4hnliche Vorgehensweise kann auch f\u00fcr $u_b$ verwendet werden. <\/li>\n\t\t<\/div>\n\t\t\n\t\t<li>F\u00fcr die Geschwindigkeiten nach dem Sto\u00df gilt also:  \n\t\t$$\\boxed{\\begin{aligned}  u_a &amp;=\\frac{ 2m_b v_b +(m_a &#8211; m_b) v_a}{(m_a + m_b)} \\\\ \\\\\n\t\tu_b &amp;=\\frac{ 2m_a v_a +(m_b &#8211; m_a) v_b}{(m_a + m_b)} \\end{aligned}}$$\n\t\tAn dieser Stelle sind wir mit Mathematik fertig und k\u00f6nnen wieder Physik betreiben. Daf\u00fcr klopfen wir uns auf die Schulter \ud83d\ude04 und belohnen uns z. B. durch eine Tasse Kaffee, eine Runde Zocken und was immer man so mag.\t\t\n\t\t<\/li>\n\t\t\n\t\t<\/ol>\n\n\n\t<\/div>\n\n\n\n<p><button onclick=\"location.href='https:\/\/nurlernen.de\/physik\/physik-inhalte\/'\">Lernbereich<\/button>\r\n<!--button onclick=\"location.href='https:\/\/nurlernen.de\/physik\/physik-lernkontrolle\/'\">Lernkontrolle<\/button-->\r\n<!--button onclick=\"location.href='\/physik-fragenkatalog'\"&gt;Fragenkatalog (F\u00fcr Lehrer)&lt;\/button-->\r\n<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Bei einem geraden Sto\u00df bewegen sich die Sto\u00dfpartner vor und nach dem Sto\u00df entlang einer Gerade. 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